Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58691 / 35619
↖ ↑ ↗
← N 63.190302°
W 18.800354°		 ← 137.76 m → N 63.190302°
W 18.797607°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
N 63.189064°
W 18.800354°		 ← 137.76 m →
18 975 m²		 N 63.189064°
W 18.797607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447780609130859 y=0.271755218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447780609130859 × 217)
    floor (0.447780609130859 × 131072)
    floor (58691.5)     		tx = 58691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271755218505859 × 217)
    floor (0.271755218505859 × 131072)
    floor (35619.5)     		ty = 35619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58691 / 35619 ti = "17/58691/35619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58691/35619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58691 ÷ 217
    58691 ÷ 131072     		x = 0.447776794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35619 ÷ 217
    35619 ÷ 131072     		y = 0.271751403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447776794433594 × 2 - 1) × π
    -0.104446411132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32812808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271751403808594 × 2 - 1) × π
    0.456497192382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.43412822593322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32812808} λ = -0.32812808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43412822593322))-π/2
    2×atan(4.1959854625601)-π/2
    2×1.33683757875496-π/2
    2.67367515750992-1.57079632675     		φ = 1.10287883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32812808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.800354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10287883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.190302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58691 KachelY 35619 -0.32812808 1.10287883 -18.800354 63.190302
    Oben rechts KachelX + 1 58692 KachelY 35619 -0.32808014 1.10287883 -18.797607 63.190302
    Unten links KachelX 58691 KachelY + 1 35620 -0.32812808 1.10285721 -18.800354 63.189064
    Unten rechts KachelX + 1 58692 KachelY + 1 35620 -0.32808014 1.10285721 -18.797607 63.189064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10287883-1.10285721) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10287883-1.10285721) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32812808--0.32808014) × cos(1.10287883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451028610860653 × 6371000     		do = 137.755747233197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32812808--0.32808014) × cos(1.10285721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451047906810444 × 6371000     		du = 137.76164071294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10287883)-sin(1.10285721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451028610860653-0.451047906810444)×R²
    abs(-0.32808014--0.32812808)×1.92959497910539e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92959497910539e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92959497910539e-05×40589641000000     		ar = 18975.0230224981m²