Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58689 / 37570
↖ ↑ ↗
← N 60.670488°
W 18.805847°		 ← 149.61 m → N 60.670488°
W 18.803100°		 →
↑
149.59 m
↓
↑
149.59 m
↓
N 60.669142°
W 18.805847°		 ← 149.61 m →
22 380 m²		 N 60.669142°
W 18.803100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447765350341797 y=0.286640167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447765350341797 × 217)
    floor (0.447765350341797 × 131072)
    floor (58689.5)     		tx = 58689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286640167236328 × 217)
    floor (0.286640167236328 × 131072)
    floor (37570.5)     		ty = 37570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58689 / 37570 ti = "17/58689/37570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58689/37570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58689 ÷ 217
    58689 ÷ 131072     		x = 0.447761535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37570 ÷ 217
    37570 ÷ 131072     		y = 0.286636352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447761535644531 × 2 - 1) × π
    -0.104476928710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32822395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286636352539062 × 2 - 1) × π
    0.426727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34060333477449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32822395} λ = -0.32822395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34060333477449))-π/2
    2×atan(3.82134836234868)-π/2
    2×1.31484805017434-π/2
    2.62969610034869-1.57079632675     		φ = 1.05889977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32822395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.805847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05889977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.670488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58689 KachelY 37570 -0.32822395 1.05889977 -18.805847 60.670488
    Oben rechts KachelX + 1 58690 KachelY 37570 -0.32817601 1.05889977 -18.803100 60.670488
    Unten links KachelX 58689 KachelY + 1 37571 -0.32822395 1.05887629 -18.805847 60.669142
    Unten rechts KachelX + 1 58690 KachelY + 1 37571 -0.32817601 1.05887629 -18.803100 60.669142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05889977-1.05887629) × R
    2.34800000000757e-05 × 6371000     		dl = 149.591080000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05889977-1.05887629) × R
    2.34800000000757e-05 × 6371000     		dr = 149.591080000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32822395--0.32817601) × cos(1.05889977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.489831577447952 × 6371000     		do = 149.60717201731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32822395--0.32817601) × cos(1.05887629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.489852047578028 × 6371000     		du = 149.613424121936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05889977)-sin(1.05887629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489831577447952-0.489852047578028)×R²
    abs(-0.32817601--0.32822395)×2.04701300760002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04701300760002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04701300760002e-05×40589641000000     		ar = 22380.3660684121m²