Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58688 / 85824
↖ ↑ ↗
← S 48.574790°
W 18.808594°		 ← 202.08 m → S 48.574790°
W 18.805847°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 48.576607°
W 18.808594°		 ← 202.08 m →
40 825 m²		 S 48.576607°
W 18.805847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447757720947266 y=0.654788970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447757720947266 × 217)
    floor (0.447757720947266 × 131072)
    floor (58688.5)     		tx = 58688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654788970947266 × 217)
    floor (0.654788970947266 × 131072)
    floor (85824.5)     		ty = 85824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58688 / 85824 ti = "17/58688/85824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58688/85824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58688 ÷ 217
    58688 ÷ 131072     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85824 ÷ 217
    85824 ÷ 131072     		y = 0.65478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972543819491699))-π/2
    2×atan(0.378119944769246)-π/2
    2×0.361503154701528-π/2
    0.723006309403057-1.57079632675     		φ = -0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58688 KachelY 85824 -0.32827189 -0.84779002 -18.808594 -48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 58689 KachelY 85824 -0.32822395 -0.84779002 -18.805847 -48.574790
    Unten links KachelX 58688 KachelY + 1 85825 -0.32827189 -0.84782173 -18.808594 -48.576607
    Unten rechts KachelX + 1 58689 KachelY + 1 85825 -0.32822395 -0.84782173 -18.805847 -48.576607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84779002--0.84782173) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84779002--0.84782173) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32822395) × cos(-0.84779002) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 202.082450894237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32822395) × cos(-0.84782173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661618070395674 × 6371000     		du = 202.075188748072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84779002)-sin(-0.84782173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.661618070395674)×R²
    abs(-0.32822395--0.32827189)×2.37771255466868e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37771255466868e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37771255466868e-05×40589641000000     		ar = 40824.8543514094m²