Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58688 / 35620
↖ ↑ ↗
← N 63.189064°
W 18.808594°		 ← 137.76 m → N 63.189064°
W 18.805847°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
N 63.187825°
W 18.808594°		 ← 137.77 m →
18 976 m²		 N 63.187825°
W 18.805847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447757720947266 y=0.271762847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447757720947266 × 217)
    floor (0.447757720947266 × 131072)
    floor (58688.5)     		tx = 58688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271762847900391 × 217)
    floor (0.271762847900391 × 131072)
    floor (35620.5)     		ty = 35620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58688 / 35620 ti = "17/58688/35620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58688/35620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58688 ÷ 217
    58688 ÷ 131072     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35620 ÷ 217
    35620 ÷ 131072     		y = 0.271759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271759033203125 × 2 - 1) × π
    0.45648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4340802890336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4340802890336))-π/2
    2×atan(4.19578432484717)-π/2
    2×1.33682676806709-π/2
    2.67365353613418-1.57079632675     		φ = 1.10285721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10285721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.189064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58688 KachelY 35620 -0.32827189 1.10285721 -18.808594 63.189064
    Oben rechts KachelX + 1 58689 KachelY 35620 -0.32822395 1.10285721 -18.805847 63.189064
    Unten links KachelX 58688 KachelY + 1 35621 -0.32827189 1.10283559 -18.808594 63.187825
    Unten rechts KachelX + 1 58689 KachelY + 1 35621 -0.32822395 1.10283559 -18.805847 63.187825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10285721-1.10283559) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10285721-1.10283559) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32822395) × cos(1.10285721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451047906810444 × 6371000     		do = 137.7616407131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32822395) × cos(1.10283559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451067202549404 × 6371000     		du = 137.767534128451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10285721)-sin(1.10283559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451047906810444-0.451067202549404)×R²
    abs(-0.32822395--0.32827189)×1.92957389603121e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92957389603121e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92957389603121e-05×40589641000000     		ar = 18975.8347920493m²