Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58685 / 86337
↖ ↑ ↗
← S 49.498458°
W 18.816834°		 ← 198.36 m → S 49.498458°
W 18.814087°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
S 49.500242°
W 18.816834°		 ← 198.36 m →
39 353 m²		 S 49.500242°
W 18.814087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447734832763672 y=0.658702850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447734832763672 × 217)
    floor (0.447734832763672 × 131072)
    floor (58685.5)     		tx = 58685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658702850341797 × 217)
    floor (0.658702850341797 × 131072)
    floor (86337.5)     		ty = 86337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58685 / 86337 ti = "17/58685/86337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58685/86337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58685 ÷ 217
    58685 ÷ 131072     		x = 0.447731018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86337 ÷ 217
    86337 ÷ 131072     		y = 0.658699035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447731018066406 × 2 - 1) × π
    -0.104537963867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32841570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658699035644531 × 2 - 1) × π
    -0.317398071289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.997135448996788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32841570} λ = -0.32841570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997135448996788))-π/2
    2×atan(0.368934761381362)-π/2
    2×0.353442626723475-π/2
    0.70688525344695-1.57079632675     		φ = -0.86391107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32841570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.816834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86391107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.498458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58685 KachelY 86337 -0.32841570 -0.86391107 -18.816834 -49.498458
    Oben rechts KachelX + 1 58686 KachelY 86337 -0.32836776 -0.86391107 -18.814087 -49.498458
    Unten links KachelX 58685 KachelY + 1 86338 -0.32841570 -0.86394221 -18.816834 -49.500242
    Unten rechts KachelX + 1 58686 KachelY + 1 86338 -0.32836776 -0.86394221 -18.814087 -49.500242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86391107--0.86394221) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dl = 198.392940000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86391107--0.86394221) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dr = 198.392940000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32841570--0.32836776) × cos(-0.86391107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649468510419732 × 6371000     		do = 198.364400401514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32841570--0.32836776) × cos(-0.86394221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649444831607298 × 6371000     		du = 198.357168282704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86391107)-sin(-0.86394221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649468510419732-0.649444831607298)×R²
    abs(-0.32836776--0.32841570)×2.36788124335918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36788124335918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36788124335918e-05×40589641000000     		ar = 39353.3791894989m²