Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58684 / 39244
↖ ↑ ↗
← N 58.338334°
W 18.819580°		 ← 160.32 m → N 58.338334°
W 18.816834°		 →
↑
160.29 m
↓
↑
160.29 m
↓
N 58.336893°
W 18.819580°		 ← 160.33 m →
25 699 m²		 N 58.336893°
W 18.816834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447727203369141 y=0.299411773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447727203369141 × 217)
    floor (0.447727203369141 × 131072)
    floor (58684.5)     		tx = 58684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299411773681641 × 217)
    floor (0.299411773681641 × 131072)
    floor (39244.5)     		ty = 39244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58684 / 39244 ti = "17/58684/39244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58684/39244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58684 ÷ 217
    58684 ÷ 131072     		x = 0.447723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39244 ÷ 217
    39244 ÷ 131072     		y = 0.299407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.10455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32846364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299407958984375 × 2 - 1) × π
    0.40118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26035696481052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32846364} λ = -0.32846364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26035696481052))-π/2
    2×atan(3.52668016341677)-π/2
    2×1.29449617066816-π/2
    2.58899234133632-1.57079632675     		φ = 1.01819601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32846364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.819580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01819601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.338334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58684 KachelY 39244 -0.32846364 1.01819601 -18.819580 58.338334
    Oben rechts KachelX + 1 58685 KachelY 39244 -0.32841570 1.01819601 -18.816834 58.338334
    Unten links KachelX 58684 KachelY + 1 39245 -0.32846364 1.01817085 -18.819580 58.336893
    Unten rechts KachelX + 1 58685 KachelY + 1 39245 -0.32841570 1.01817085 -18.816834 58.336893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01819601-1.01817085) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dl = 160.294360000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01819601-1.01817085) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dr = 160.294360000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32846364--0.32841570) × cos(1.01819601) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.524902293152807 × 6371000     		do = 160.318671313973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32846364--0.32841570) × cos(1.01817085) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.524923708234889 × 6371000     		du = 160.325212031266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01819601)-sin(1.01817085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524902293152807-0.524923708234889)×R²
    abs(-0.32841570--0.32846364)×2.1415082082199e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1415082082199e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1415082082199e-05×40589641000000     		ar = 25698.7030359855m²