Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58684 / 39241
↖ ↑ ↗
← N 58.342659°
W 18.819580°		 ← 160.30 m → N 58.342659°
W 18.816834°		 →
↑
160.29 m
↓
↑
160.29 m
↓
N 58.341218°
W 18.819580°		 ← 160.31 m →
25 696 m²		 N 58.341218°
W 18.816834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447727203369141 y=0.299388885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447727203369141 × 217)
    floor (0.447727203369141 × 131072)
    floor (58684.5)     		tx = 58684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299388885498047 × 217)
    floor (0.299388885498047 × 131072)
    floor (39241.5)     		ty = 39241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58684 / 39241 ti = "17/58684/39241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58684/39241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58684 ÷ 217
    58684 ÷ 131072     		x = 0.447723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39241 ÷ 217
    39241 ÷ 131072     		y = 0.299385070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.10455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32846364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299385070800781 × 2 - 1) × π
    0.401229858398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.26050077550938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32846364} λ = -0.32846364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26050077550938))-π/2
    2×atan(3.52718737422603)-π/2
    2×1.29453391164074-π/2
    2.58906782328148-1.57079632675     		φ = 1.01827150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32846364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.819580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01827150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.342659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58684 KachelY 39241 -0.32846364 1.01827150 -18.819580 58.342659
    Oben rechts KachelX + 1 58685 KachelY 39241 -0.32841570 1.01827150 -18.816834 58.342659
    Unten links KachelX 58684 KachelY + 1 39242 -0.32846364 1.01824634 -18.819580 58.341218
    Unten rechts KachelX + 1 58685 KachelY + 1 39242 -0.32841570 1.01824634 -18.816834 58.341218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01827150-1.01824634) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dl = 160.294360000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01827150-1.01824634) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dr = 160.294360000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32846364--0.32841570) × cos(1.01827150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.524838037400934 × 6371000     		do = 160.299045953408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32846364--0.32841570) × cos(1.01824634) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.524859453479937 × 6371000     		du = 160.305586975186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01827150)-sin(1.01824634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524838037400934-0.524859453479937)×R²
    abs(-0.32841570--0.32846364)×2.14160790033002e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14160790033002e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14160790033002e-05×40589641000000     		ar = 25695.5572256362m²