Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58684 / 37758
↖ ↑ ↗
← N 60.416564°
W 18.819580°		 ← 150.79 m → N 60.416564°
W 18.816834°		 →
↑
150.80 m
↓
↑
150.80 m
↓
N 60.415208°
W 18.819580°		 ← 150.79 m →
22 739 m²		 N 60.415208°
W 18.816834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447727203369141 y=0.288074493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447727203369141 × 217)
    floor (0.447727203369141 × 131072)
    floor (58684.5)     		tx = 58684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288074493408203 × 217)
    floor (0.288074493408203 × 131072)
    floor (37758.5)     		ty = 37758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58684 / 37758 ti = "17/58684/37758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58684/37758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58684 ÷ 217
    58684 ÷ 131072     		x = 0.447723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37758 ÷ 217
    37758 ÷ 131072     		y = 0.288070678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.10455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32846364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288070678710938 × 2 - 1) × π
    0.423858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33159119764592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32846364} λ = -0.32846364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33159119764592))-π/2
    2×atan(3.78706456407672)-π/2
    2×1.31263214902993-π/2
    2.62526429805986-1.57079632675     		φ = 1.05446797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32846364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.819580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05446797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.416564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58684 KachelY 37758 -0.32846364 1.05446797 -18.819580 60.416564
    Oben rechts KachelX + 1 58685 KachelY 37758 -0.32841570 1.05446797 -18.816834 60.416564
    Unten links KachelX 58684 KachelY + 1 37759 -0.32846364 1.05444430 -18.819580 60.415208
    Unten rechts KachelX + 1 58685 KachelY + 1 37759 -0.32841570 1.05444430 -18.816834 60.415208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05446797-1.05444430) × R
    2.36700000000312e-05 × 6371000     		dl = 150.801570000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05446797-1.05444430) × R
    2.36700000000312e-05 × 6371000     		dr = 150.801570000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32846364--0.32841570) × cos(1.05446797) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.493690473400707 × 6371000     		do = 150.785778169437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32846364--0.32841570) × cos(1.05444430) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.49371105758659 × 6371000     		du = 150.792065109643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05446797)-sin(1.05444430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493690473400707-0.49371105758659)×R²
    abs(-0.32841570--0.32846364)×2.05841858833544e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05841858833544e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05841858833544e-05×40589641000000     		ar = 22739.2061228541m²