Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58683 / 35611
↖ ↑ ↗
← N 63.200211°
W 18.822326°		 ← 137.68 m → N 63.200211°
W 18.819580°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
N 63.198972°
W 18.822326°		 ← 137.69 m →
18 965 m²		 N 63.198972°
W 18.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447719573974609 y=0.271694183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447719573974609 × 217)
    floor (0.447719573974609 × 131072)
    floor (58683.5)     		tx = 58683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271694183349609 × 217)
    floor (0.271694183349609 × 131072)
    floor (35611.5)     		ty = 35611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58683 / 35611 ti = "17/58683/35611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58683/35611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58683 ÷ 217
    58683 ÷ 131072     		x = 0.447715759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35611 ÷ 217
    35611 ÷ 131072     		y = 0.271690368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447715759277344 × 2 - 1) × π
    -0.104568481445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32851157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271690368652344 × 2 - 1) × π
    0.456619262695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.43451172113018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32851157} λ = -0.32851157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43451172113018))-π/2
    2×atan(4.19759491141973)-π/2
    2×1.33692404760856-π/2
    2.67384809521712-1.57079632675     		φ = 1.10305177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32851157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.822326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10305177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.200211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58683 KachelY 35611 -0.32851157 1.10305177 -18.822326 63.200211
    Oben rechts KachelX + 1 58684 KachelY 35611 -0.32846364 1.10305177 -18.819580 63.200211
    Unten links KachelX 58683 KachelY + 1 35612 -0.32851157 1.10303015 -18.822326 63.198972
    Unten rechts KachelX + 1 58684 KachelY + 1 35612 -0.32846364 1.10303015 -18.819580 63.198972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10305177-1.10303015) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10305177-1.10303015) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32851157--0.32846364) × cos(1.10305177) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.450874253525248 × 6371000     		do = 137.679877331129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32851157--0.32846364) × cos(1.10303015) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.450893551161166 × 6371000     		du = 137.685770096407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10305177)-sin(1.10303015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450874253525248-0.450893551161166)×R²
    abs(-0.32846364--0.32851157)×1.92976359177921e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92976359177921e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92976359177921e-05×40589641000000     		ar = 18964.5725754953m²