Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58682 / 39243
↖ ↑ ↗
← N 58.339776°
W 18.825073°		 ← 160.31 m → N 58.339776°
W 18.822326°		 →
↑
160.36 m
↓
↑
160.36 m
↓
N 58.338334°
W 18.825073°		 ← 160.32 m →
25 708 m²		 N 58.338334°
W 18.822326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447711944580078 y=0.299404144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447711944580078 × 217)
    floor (0.447711944580078 × 131072)
    floor (58682.5)     		tx = 58682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299404144287109 × 217)
    floor (0.299404144287109 × 131072)
    floor (39243.5)     		ty = 39243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58682 / 39243 ti = "17/58682/39243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58682/39243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58682 ÷ 217
    58682 ÷ 131072     		x = 0.447708129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39243 ÷ 217
    39243 ÷ 131072     		y = 0.299400329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447708129882812 × 2 - 1) × π
    -0.104583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32855951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299400329589844 × 2 - 1) × π
    0.401199340820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.26040490171014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32855951} λ = -0.32855951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26040490171014))-π/2
    2×atan(3.52684922558189)-π/2
    2×1.29450875150567-π/2
    2.58901750301134-1.57079632675     		φ = 1.01822118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32855951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.825073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01822118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.339776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58682 KachelY 39243 -0.32855951 1.01822118 -18.825073 58.339776
    Oben rechts KachelX + 1 58683 KachelY 39243 -0.32851157 1.01822118 -18.822326 58.339776
    Unten links KachelX 58682 KachelY + 1 39244 -0.32855951 1.01819601 -18.825073 58.338334
    Unten rechts KachelX + 1 58683 KachelY + 1 39244 -0.32851157 1.01819601 -18.822326 58.338334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01822118-1.01819601) × R
    2.51700000000188e-05 × 6371000     		dl = 160.35807000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01822118-1.01819601) × R
    2.51700000000188e-05 × 6371000     		dr = 160.35807000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32855951--0.32851157) × cos(1.01822118) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.524880869226691 × 6371000     		do = 160.312127895486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32855951--0.32851157) × cos(1.01819601) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.524902293152807 × 6371000     		du = 160.318671313973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01822118)-sin(1.01819601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524880869226691-0.524902293152807)×R²
    abs(-0.32851157--0.32855951)×2.14239261157045e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14239261157045e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14239261157045e-05×40589641000000     		ar = 25707.8680732287m²