Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58682 / 35614
↖ ↑ ↗
← N 63.196495°
W 18.825073°		 ← 137.73 m → N 63.196495°
W 18.822326°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
N 63.195257°
W 18.825073°		 ← 137.73 m →
18 962 m²		 N 63.195257°
W 18.822326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447711944580078 y=0.271717071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447711944580078 × 217)
    floor (0.447711944580078 × 131072)
    floor (58682.5)     		tx = 58682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271717071533203 × 217)
    floor (0.271717071533203 × 131072)
    floor (35614.5)     		ty = 35614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58682 / 35614 ti = "17/58682/35614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58682/35614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58682 ÷ 217
    58682 ÷ 131072     		x = 0.447708129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35614 ÷ 217
    35614 ÷ 131072     		y = 0.271713256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447708129882812 × 2 - 1) × π
    -0.104583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32855951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271713256835938 × 2 - 1) × π
    0.456573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43436791043132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32855951} λ = -0.32855951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43436791043132))-π/2
    2×atan(4.19699129576623)-π/2
    2×1.33689162525685-π/2
    2.6737832505137-1.57079632675     		φ = 1.10298692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32855951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.825073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10298692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.196495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58682 KachelY 35614 -0.32855951 1.10298692 -18.825073 63.196495
    Oben rechts KachelX + 1 58683 KachelY 35614 -0.32851157 1.10298692 -18.822326 63.196495
    Unten links KachelX 58682 KachelY + 1 35615 -0.32855951 1.10296531 -18.825073 63.195257
    Unten rechts KachelX + 1 58683 KachelY + 1 35615 -0.32851157 1.10296531 -18.822326 63.195257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10298692-1.10296531) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dl = 137.677309999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10298692-1.10296531) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dr = 137.677309999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32855951--0.32851157) × cos(1.10298692) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450932136875134 × 6371000     		do = 137.726281594938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32855951--0.32851157) × cos(1.10296531) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450951424953361 × 6371000     		du = 137.732172670504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10298692)-sin(1.10296531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450932136875134-0.450951424953361)×R²
    abs(-0.32851157--0.32855951)×1.92880782272087e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92880782272087e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92880782272087e-05×40589641000000     		ar = 18962.1895006279m²