Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58679 / 37759
↖ ↑ ↗
← N 60.415208°
W 18.833313°		 ← 150.79 m → N 60.415208°
W 18.830566°		 →
↑
150.74 m
↓
↑
150.74 m
↓
N 60.413853°
W 18.833313°		 ← 150.80 m →
22 731 m²		 N 60.413853°
W 18.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447689056396484 y=0.288082122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447689056396484 × 217)
    floor (0.447689056396484 × 131072)
    floor (58679.5)     		tx = 58679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288082122802734 × 217)
    floor (0.288082122802734 × 131072)
    floor (37759.5)     		ty = 37759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58679 / 37759 ti = "17/58679/37759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58679/37759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58679 ÷ 217
    58679 ÷ 131072     		x = 0.447685241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37759 ÷ 217
    37759 ÷ 131072     		y = 0.288078308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447685241699219 × 2 - 1) × π
    -0.104629516601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32870332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288078308105469 × 2 - 1) × π
    0.423843383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.3315432607463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32870332} λ = -0.32870332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3315432607463))-π/2
    2×atan(3.78688302829402)-π/2
    2×1.31262031578798-π/2
    2.62524063157595-1.57079632675     		φ = 1.05444430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32870332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.833313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05444430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.415208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58679 KachelY 37759 -0.32870332 1.05444430 -18.833313 60.415208
    Oben rechts KachelX + 1 58680 KachelY 37759 -0.32865538 1.05444430 -18.830566 60.415208
    Unten links KachelX 58679 KachelY + 1 37760 -0.32870332 1.05442064 -18.833313 60.413853
    Unten rechts KachelX + 1 58680 KachelY + 1 37760 -0.32865538 1.05442064 -18.830566 60.413853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05444430-1.05442064) × R
    2.36599999998699e-05 × 6371000     		dl = 150.737859999171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05444430-1.05442064) × R
    2.36599999998699e-05 × 6371000     		dr = 150.737859999171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32870332--0.32865538) × cos(1.05444430) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.49371105758659 × 6371000     		do = 150.792065109643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32870332--0.32865538) × cos(1.05442064) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.493731632799719 × 6371000     		du = 150.798349309338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05444430)-sin(1.05442064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49371105758659-0.493731632799719)×R²
    abs(-0.32865538--0.32870332)×2.05752131290371e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05752131290371e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05752131290371e-05×40589641000000     		ar = 22730.5468340255m²