Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58677 / 38167
↖ ↑ ↗
← N 59.857230°
W 18.838806°		 ← 153.34 m → N 59.857230°
W 18.836060°		 →
↑
153.41 m
↓
↑
153.41 m
↓
N 59.855851°
W 18.838806°		 ← 153.35 m →
23 525 m²		 N 59.855851°
W 18.836060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447673797607422 y=0.291194915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447673797607422 × 217)
    floor (0.447673797607422 × 131072)
    floor (58677.5)     		tx = 58677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291194915771484 × 217)
    floor (0.291194915771484 × 131072)
    floor (38167.5)     		ty = 38167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58677 / 38167 ti = "17/58677/38167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58677/38167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58677 ÷ 217
    58677 ÷ 131072     		x = 0.447669982910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38167 ÷ 217
    38167 ÷ 131072     		y = 0.291191101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447669982910156 × 2 - 1) × π
    -0.104660034179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32879919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291191101074219 × 2 - 1) × π
    0.417617797851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.31198500570132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32879919} λ = -0.32879919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31198500570132))-π/2
    2×atan(3.71353779461376)-π/2
    2×1.30775103656778-π/2
    2.61550207313556-1.57079632675     		φ = 1.04470575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32879919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.838806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04470575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.857230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58677 KachelY 38167 -0.32879919 1.04470575 -18.838806 59.857230
    Oben rechts KachelX + 1 58678 KachelY 38167 -0.32875126 1.04470575 -18.836060 59.857230
    Unten links KachelX 58677 KachelY + 1 38168 -0.32879919 1.04468167 -18.838806 59.855851
    Unten rechts KachelX + 1 58678 KachelY + 1 38168 -0.32875126 1.04468167 -18.836060 59.855851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04470575-1.04468167) × R
    2.40800000002039e-05 × 6371000     		dl = 153.413680001299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04470575-1.04468167) × R
    2.40800000002039e-05 × 6371000     		dr = 153.413680001299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32879919--0.32875126) × cos(1.04470575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.502156408636779 × 6371000     		do = 153.33950031893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32879919--0.32875126) × cos(1.04468167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.502177232316916 × 6371000     		du = 153.345859080169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04470575)-sin(1.04468167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502156408636779-0.502177232316916)×R²
    abs(-0.32875126--0.32879919)×2.08236801374495e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08236801374495e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08236801374495e-05×40589641000000     		ar = 23524.8647951503m²