Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58676 / 84244
↖ ↑ ↗
← S 45.621721°
W 18.841553°		 ← 213.61 m → S 45.621721°
W 18.838806°		 →
↑
213.62 m
↓
↑
213.62 m
↓
S 45.623643°
W 18.841553°		 ← 213.61 m →
45 631 m²		 S 45.623643°
W 18.838806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447666168212891 y=0.642734527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447666168212891 × 217)
    floor (0.447666168212891 × 131072)
    floor (58676.5)     		tx = 58676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642734527587891 × 217)
    floor (0.642734527587891 × 131072)
    floor (84244.5)     		ty = 84244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58676 / 84244 ti = "17/58676/84244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58676/84244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58676 ÷ 217
    58676 ÷ 131072     		x = 0.447662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84244 ÷ 217
    84244 ÷ 131072     		y = 0.642730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.10467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32884713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.28546142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.896803518092011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32884713} λ = -0.32884713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.896803518092011))-π/2
    2×atan(0.40787133157922)-π/2
    2×0.387273536424876-π/2
    0.774547072849752-1.57079632675     		φ = -0.79624925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32884713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.841553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79624925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.621721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58676 KachelY 84244 -0.32884713 -0.79624925 -18.841553 -45.621721
    Oben rechts KachelX + 1 58677 KachelY 84244 -0.32879919 -0.79624925 -18.838806 -45.621721
    Unten links KachelX 58676 KachelY + 1 84245 -0.32884713 -0.79628278 -18.841553 -45.623643
    Unten rechts KachelX + 1 58677 KachelY + 1 84245 -0.32879919 -0.79628278 -18.838806 -45.623643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79624925--0.79628278) × R
    3.35299999999483e-05 × 6371000     		dl = 213.619629999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79624925--0.79628278) × R
    3.35299999999483e-05 × 6371000     		dr = 213.619629999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32884713--0.32879919) × cos(-0.79624925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699392425723452 × 6371000     		do = 213.61244917684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32884713--0.32879919) × cos(-0.79628278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699368460169243 × 6371000     		du = 213.605129479712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79624925)-sin(-0.79628278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699392425723452-0.699368460169243)×R²
    abs(-0.32879919--0.32884713)×2.39655542084716e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39655542084716e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39655542084716e-05×40589641000000     		ar = 45631.0305452796m²