Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58676 / 29900
↖ ↑ ↗
← N 69.461408°
W 18.841553°		 ← 107.16 m → N 69.461408°
W 18.838806°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
N 69.460445°
W 18.841553°		 ← 107.16 m →
11 483 m²		 N 69.460445°
W 18.838806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447666168212891 y=0.228122711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447666168212891 × 217)
    floor (0.447666168212891 × 131072)
    floor (58676.5)     		tx = 58676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228122711181641 × 217)
    floor (0.228122711181641 × 131072)
    floor (29900.5)     		ty = 29900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58676 / 29900 ti = "17/58676/29900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58676/29900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58676 ÷ 217
    58676 ÷ 131072     		x = 0.447662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29900 ÷ 217
    29900 ÷ 131072     		y = 0.228118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.10467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32884713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228118896484375 × 2 - 1) × π
    0.54376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70827935486032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32884713} λ = -0.32884713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70827935486032))-π/2
    2×atan(5.51945627681395)-π/2
    2×1.3915633030814-π/2
    2.7831266061628-1.57079632675     		φ = 1.21233028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32884713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.841553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21233028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.461408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58676 KachelY 29900 -0.32884713 1.21233028 -18.841553 69.461408
    Oben rechts KachelX + 1 58677 KachelY 29900 -0.32879919 1.21233028 -18.838806 69.461408
    Unten links KachelX 58676 KachelY + 1 29901 -0.32884713 1.21231346 -18.841553 69.460445
    Unten rechts KachelX + 1 58677 KachelY + 1 29901 -0.32879919 1.21231346 -18.838806 69.460445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21233028-1.21231346) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dl = 107.160219999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21233028-1.21231346) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dr = 107.160219999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32884713--0.32879919) × cos(1.21233028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350838197453025 × 6371000     		do = 107.155016077286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32884713--0.32879919) × cos(1.21231346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350853948258506 × 6371000     		du = 107.159826778706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21233028)-sin(1.21231346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350838197453025-0.350853948258506)×R²
    abs(-0.32879919--0.32884713)×1.57508054816069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57508054816069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57508054816069e-05×40589641000000     		ar = 11483.012855123m²