Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58675 / 29902
↖ ↑ ↗
← N 69.459481°
W 18.844299°		 ← 107.16 m → N 69.459481°
W 18.841553°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
N 69.458517°
W 18.844299°		 ← 107.17 m →
11 484 m²		 N 69.458517°
W 18.841553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447658538818359 y=0.228137969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447658538818359 × 217)
    floor (0.447658538818359 × 131072)
    floor (58675.5)     		tx = 58675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228137969970703 × 217)
    floor (0.228137969970703 × 131072)
    floor (29902.5)     		ty = 29902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58675 / 29902 ti = "17/58675/29902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58675/29902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58675 ÷ 217
    58675 ÷ 131072     		x = 0.447654724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29902 ÷ 217
    29902 ÷ 131072     		y = 0.228134155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447654724121094 × 2 - 1) × π
    -0.104690551757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32889507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228134155273438 × 2 - 1) × π
    0.543731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70818348106108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32889507} λ = -0.32889507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70818348106108))-π/2
    2×atan(5.51892713093697)-π/2
    2×1.39154648423094-π/2
    2.78309296846187-1.57079632675     		φ = 1.21229664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32889507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.844299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21229664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.459481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58675 KachelY 29902 -0.32889507 1.21229664 -18.844299 69.459481
    Oben rechts KachelX + 1 58676 KachelY 29902 -0.32884713 1.21229664 -18.841553 69.459481
    Unten links KachelX 58675 KachelY + 1 29903 -0.32889507 1.21227982 -18.844299 69.458517
    Unten rechts KachelX + 1 58676 KachelY + 1 29903 -0.32884713 1.21227982 -18.841553 69.458517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21229664-1.21227982) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dl = 107.160219999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21229664-1.21227982) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dr = 107.160219999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32889507--0.32884713) × cos(1.21229664) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.350869698964727 × 6371000     		do = 107.164637449933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32889507--0.32884713) × cos(1.21227982) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.350885449571682 × 6371000     		du = 107.169448090718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21229664)-sin(1.21227982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350869698964727-0.350885449571682)×R²
    abs(-0.32884713--0.32889507)×1.57506069552449e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57506069552449e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57506069552449e-05×40589641000000     		ar = 11484.0438802044m²