Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58674 / 39219
↖ ↑ ↗
← N 58.374358°
W 18.847046°		 ← 160.16 m → N 58.374358°
W 18.844299°		 →
↑
160.17 m
↓
↑
160.17 m
↓
N 58.372918°
W 18.847046°		 ← 160.16 m →
25 652 m²		 N 58.372918°
W 18.844299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447650909423828 y=0.299221038818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447650909423828 × 217)
    floor (0.447650909423828 × 131072)
    floor (58674.5)     		tx = 58674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299221038818359 × 217)
    floor (0.299221038818359 × 131072)
    floor (39219.5)     		ty = 39219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58674 / 39219 ti = "17/58674/39219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58674/39219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58674 ÷ 217
    58674 ÷ 131072     		x = 0.447647094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39219 ÷ 217
    39219 ÷ 131072     		y = 0.299217224121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447647094726562 × 2 - 1) × π
    -0.104705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32894301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299217224121094 × 2 - 1) × π
    0.401565551757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.26155538730102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32894301} λ = -0.32894301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26155538730102))-π/2
    2×atan(3.53090914979146)-π/2
    2×1.2948105376392-π/2
    2.5896210752784-1.57079632675     		φ = 1.01882475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32894301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.847046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01882475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.374358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58674 KachelY 39219 -0.32894301 1.01882475 -18.847046 58.374358
    Oben rechts KachelX + 1 58675 KachelY 39219 -0.32889507 1.01882475 -18.844299 58.374358
    Unten links KachelX 58674 KachelY + 1 39220 -0.32894301 1.01879961 -18.847046 58.372918
    Unten rechts KachelX + 1 58675 KachelY + 1 39220 -0.32889507 1.01879961 -18.844299 58.372918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01882475-1.01879961) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dl = 160.166939999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01882475-1.01879961) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dr = 160.166939999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32894301--0.32889507) × cos(1.01882475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.52436702953414 × 6371000     		do = 160.155188026962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32894301--0.32889507) × cos(1.01879961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.524388435886056 × 6371000     		du = 160.161726077836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01882475)-sin(1.01879961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52436702953414-0.524388435886056)×R²
    abs(-0.32889507--0.32894301)×2.14063519159424e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14063519159424e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14063519159424e-05×40589641000000     		ar = 25652.0899825032m²