Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58671 / 86801
↖ ↑ ↗
← S 50.319162°
W 18.855286°		 ← 195.02 m → S 50.319162°
W 18.852539°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
S 50.320916°
W 18.855286°		 ← 195.01 m →
38 031 m²		 S 50.320916°
W 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447628021240234 y=0.662242889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447628021240234 × 217)
    floor (0.447628021240234 × 131072)
    floor (58671.5)     		tx = 58671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662242889404297 × 217)
    floor (0.662242889404297 × 131072)
    floor (86801.5)     		ty = 86801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58671 / 86801 ti = "17/58671/86801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58671/86801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58671 ÷ 217
    58671 ÷ 131072     		x = 0.447624206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86801 ÷ 217
    86801 ÷ 131072     		y = 0.662239074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447624206542969 × 2 - 1) × π
    -0.104751586914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32908682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662239074707031 × 2 - 1) × π
    -0.324478149414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.01937817042049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32908682} λ = -0.32908682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01937817042049))-π/2
    2×atan(0.360819238503539)-π/2
    2×0.346280637700943-π/2
    0.692561275401887-1.57079632675     		φ = -0.87823505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32908682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.855286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87823505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.319162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58671 KachelY 86801 -0.32908682 -0.87823505 -18.855286 -50.319162
    Oben rechts KachelX + 1 58672 KachelY 86801 -0.32903888 -0.87823505 -18.852539 -50.319162
    Unten links KachelX 58671 KachelY + 1 86802 -0.32908682 -0.87826566 -18.855286 -50.320916
    Unten rechts KachelX + 1 58672 KachelY + 1 86802 -0.32903888 -0.87826566 -18.852539 -50.320916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87823505--0.87826566) × R
    3.0609999999931e-05 × 6371000     		dl = 195.01630999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87823505--0.87826566) × R
    3.0609999999931e-05 × 6371000     		dr = 195.01630999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32908682--0.32903888) × cos(-0.87823505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63851046669855 × 6371000     		do = 195.017531789248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32908682--0.32903888) × cos(-0.87826566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638486908541232 × 6371000     		du = 195.010336521616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87823505)-sin(-0.87826566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63851046669855-0.638486908541232)×R²
    abs(-0.32903888--0.32908682)×2.35581573182486e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35581573182486e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35581573182486e-05×40589641000000     		ar = 38030.8978404935m²