Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58670 / 39230
↖ ↑ ↗
← N 58.358512°
W 18.858032°		 ← 160.19 m → N 58.358512°
W 18.855286°		 →
↑
160.17 m
↓
↑
160.17 m
↓
N 58.357072°
W 18.858032°		 ← 160.20 m →
25 658 m²		 N 58.357072°
W 18.855286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447620391845703 y=0.299304962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447620391845703 × 217)
    floor (0.447620391845703 × 131072)
    floor (58670.5)     		tx = 58670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299304962158203 × 217)
    floor (0.299304962158203 × 131072)
    floor (39230.5)     		ty = 39230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58670 / 39230 ti = "17/58670/39230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58670/39230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58670 ÷ 217
    58670 ÷ 131072     		x = 0.447616577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39230 ÷ 217
    39230 ÷ 131072     		y = 0.299301147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447616577148438 × 2 - 1) × π
    -0.104766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32913475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299301147460938 × 2 - 1) × π
    0.401397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2610280814052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32913475} λ = -0.32913475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2610280814052))-π/2
    2×atan(3.52904777138021)-π/2
    2×1.29467225568574-π/2
    2.58934451137147-1.57079632675     		φ = 1.01854818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32913475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.858032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01854818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.358512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58670 KachelY 39230 -0.32913475 1.01854818 -18.858032 58.358512
    Oben rechts KachelX + 1 58671 KachelY 39230 -0.32908682 1.01854818 -18.855286 58.358512
    Unten links KachelX 58670 KachelY + 1 39231 -0.32913475 1.01852304 -18.858032 58.357072
    Unten rechts KachelX + 1 58671 KachelY + 1 39231 -0.32908682 1.01852304 -18.855286 58.357072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01854818-1.01852304) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dl = 160.166939999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01854818-1.01852304) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dr = 160.166939999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32913475--0.32908682) × cos(1.01854818) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.524602506715095 × 6371000     		do = 160.193686393523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32913475--0.32908682) × cos(1.01852304) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.52462390942021 × 6371000     		du = 160.200221967004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01854818)-sin(1.01852304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524602506715095-0.52462390942021)×R²
    abs(-0.32908682--0.32913475)×2.14027051147481e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14027051147481e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14027051147481e-05×40589641000000     		ar = 25658.2559496908m²