Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58670 / 39220
↖ ↑ ↗
← N 58.372918°
W 18.858032°		 ← 160.13 m → N 58.372918°
W 18.855286°		 →
↑
160.17 m
↓
↑
160.17 m
↓
N 58.371477°
W 18.858032°		 ← 160.13 m →
25 648 m²		 N 58.371477°
W 18.855286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447620391845703 y=0.299228668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447620391845703 × 217)
    floor (0.447620391845703 × 131072)
    floor (58670.5)     		tx = 58670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299228668212891 × 217)
    floor (0.299228668212891 × 131072)
    floor (39220.5)     		ty = 39220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58670 / 39220 ti = "17/58670/39220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58670/39220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58670 ÷ 217
    58670 ÷ 131072     		x = 0.447616577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39220 ÷ 217
    39220 ÷ 131072     		y = 0.299224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447616577148438 × 2 - 1) × π
    -0.104766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32913475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299224853515625 × 2 - 1) × π
    0.40155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2615074504014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32913475} λ = -0.32913475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2615074504014))-π/2
    2×atan(3.53073989301084)-π/2
    2×1.29479796911783-π/2
    2.58959593823567-1.57079632675     		φ = 1.01879961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32913475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.858032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01879961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.372918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58670 KachelY 39220 -0.32913475 1.01879961 -18.858032 58.372918
    Oben rechts KachelX + 1 58671 KachelY 39220 -0.32908682 1.01879961 -18.855286 58.372918
    Unten links KachelX 58670 KachelY + 1 39221 -0.32913475 1.01877447 -18.858032 58.371477
    Unten rechts KachelX + 1 58671 KachelY + 1 39221 -0.32908682 1.01877447 -18.855286 58.371477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01879961-1.01877447) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dl = 160.166939999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01879961-1.01877447) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dr = 160.166939999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32913475--0.32908682) × cos(1.01879961) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.524388435886056 × 6371000     		do = 160.128317290604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32913475--0.32908682) × cos(1.01877447) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.524409841906548 × 6371000     		du = 160.134853876475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01879961)-sin(1.01877447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524388435886056-0.524409841906548)×R²
    abs(-0.32908682--0.32913475)×2.14060204921651e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14060204921651e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14060204921651e-05×40589641000000     		ar = 25647.7860615666m²