Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58668 / 44825
↖ ↑ ↗
← N 49.337651°
W 18.863526°		 ← 199.02 m → N 49.337651°
W 18.860779°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
N 49.335861°
W 18.863526°		 ← 199.02 m →
39 611 m²		 N 49.335861°
W 18.860779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447605133056641 y=0.341991424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447605133056641 × 217)
    floor (0.447605133056641 × 131072)
    floor (58668.5)     		tx = 58668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341991424560547 × 217)
    floor (0.341991424560547 × 131072)
    floor (44825.5)     		ty = 44825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58668 / 44825 ti = "17/58668/44825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58668/44825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58668 ÷ 217
    58668 ÷ 131072     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44825 ÷ 217
    44825 ÷ 131072     		y = 0.341987609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341987609863281 × 2 - 1) × π
    0.316024780273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.992821128030983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992821128030983))-π/2
    2×atan(2.69883750888434)-π/2
    2×1.21595039355206-π/2
    2.43190078710413-1.57079632675     		φ = 0.86110446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86110446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.337651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58668 KachelY 44825 -0.32923063 0.86110446 -18.863526 49.337651
    Oben rechts KachelX + 1 58669 KachelY 44825 -0.32918269 0.86110446 -18.860779 49.337651
    Unten links KachelX 58668 KachelY + 1 44826 -0.32923063 0.86107322 -18.863526 49.335861
    Unten rechts KachelX + 1 58669 KachelY + 1 44826 -0.32918269 0.86107322 -18.860779 49.335861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86110446-0.86107322) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86110446-0.86107322) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32918269) × cos(0.86110446) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651600063605229 × 6371000     		do = 199.015431610774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32918269) × cos(0.86107322) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651623760785751 × 6371000     		du = 199.022669339671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86110446)-sin(0.86107322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651600063605229-0.651623760785751)×R²
    abs(-0.32918269--0.32923063)×2.36971805216424e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36971805216424e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36971805216424e-05×40589641000000     		ar = 39610.7695800186m²