Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58667 / 30011
↖ ↑ ↗
← N 69.354181°
W 18.866272°		 ← 107.67 m → N 69.354181°
W 18.863526°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
N 69.353213°
W 18.866272°		 ← 107.67 m →
11 593 m²		 N 69.353213°
W 18.863526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447597503662109 y=0.228969573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447597503662109 × 217)
    floor (0.447597503662109 × 131072)
    floor (58667.5)     		tx = 58667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228969573974609 × 217)
    floor (0.228969573974609 × 131072)
    floor (30011.5)     		ty = 30011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58667 / 30011 ti = "17/58667/30011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58667/30011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58667 ÷ 217
    58667 ÷ 131072     		x = 0.447593688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30011 ÷ 217
    30011 ÷ 131072     		y = 0.228965759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447593688964844 × 2 - 1) × π
    -0.104812622070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32927856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228965759277344 × 2 - 1) × π
    0.542068481445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.70295835900249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32927856} λ = -0.32927856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70295835900249))-π/2
    2×atan(5.49016527059859)-π/2
    2×1.39062756998974-π/2
    2.78125513997947-1.57079632675     		φ = 1.21045881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32927856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.866272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21045881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.354181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58667 KachelY 30011 -0.32927856 1.21045881 -18.866272 69.354181
    Oben rechts KachelX + 1 58668 KachelY 30011 -0.32923063 1.21045881 -18.863526 69.354181
    Unten links KachelX 58667 KachelY + 1 30012 -0.32927856 1.21044191 -18.866272 69.353213
    Unten rechts KachelX + 1 58668 KachelY + 1 30012 -0.32923063 1.21044191 -18.863526 69.353213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21045881-1.21044191) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dl = 107.66990000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21045881-1.21044191) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dr = 107.66990000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32927856--0.32923063) × cos(1.21045881) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.352590094100259 × 6371000     		do = 107.667626892287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32927856--0.32923063) × cos(1.21044191) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.352605908695942 × 6371000     		du = 107.672456069329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21045881)-sin(1.21044191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352590094100259-0.352605908695942)×R²
    abs(-0.32923063--0.32927856)×1.58145956828393e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58145956828393e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58145956828393e-05×40589641000000     		ar = 11592.8225995514m²