Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58666 / 44826
↖ ↑ ↗
← N 49.335861°
W 18.869019°		 ← 199.02 m → N 49.335861°
W 18.866272°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
N 49.334072°
W 18.869019°		 ← 199.03 m →
39 600 m²		 N 49.334072°
W 18.866272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447589874267578 y=0.341999053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447589874267578 × 217)
    floor (0.447589874267578 × 131072)
    floor (58666.5)     		tx = 58666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341999053955078 × 217)
    floor (0.341999053955078 × 131072)
    floor (44826.5)     		ty = 44826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58666 / 44826 ti = "17/58666/44826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58666/44826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58666 ÷ 217
    58666 ÷ 131072     		x = 0.447586059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44826 ÷ 217
    44826 ÷ 131072     		y = 0.341995239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447586059570312 × 2 - 1) × π
    -0.104827880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32932650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341995239257812 × 2 - 1) × π
    0.316009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.992773191131363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32932650} λ = -0.32932650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992773191131363))-π/2
    2×atan(2.69870813808242)-π/2
    2×1.21593477542469-π/2
    2.43186955084938-1.57079632675     		φ = 0.86107322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32932650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.869019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86107322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.335861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58666 KachelY 44826 -0.32932650 0.86107322 -18.869019 49.335861
    Oben rechts KachelX + 1 58667 KachelY 44826 -0.32927856 0.86107322 -18.866272 49.335861
    Unten links KachelX 58666 KachelY + 1 44827 -0.32932650 0.86104199 -18.869019 49.334072
    Unten rechts KachelX + 1 58667 KachelY + 1 44827 -0.32927856 0.86104199 -18.866272 49.334072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86107322-0.86104199) × R
    3.12299999999377e-05 × 6371000     		dl = 198.966329999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86107322-0.86104199) × R
    3.12299999999377e-05 × 6371000     		dr = 198.966329999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32932650--0.32927856) × cos(0.86107322) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651623760785751 × 6371000     		do = 199.022669339671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32932650--0.32927856) × cos(0.86104199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651647449745109 × 6371000     		du = 199.029904557613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86107322)-sin(0.86104199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651623760785751-0.651647449745109)×R²
    abs(-0.32927856--0.32932650)×2.36889593576706e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36889593576706e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36889593576706e-05×40589641000000     		ar = 39599.5298906883m²