Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58666 / 38154
↖ ↑ ↗
← N 59.875155°
W 18.869019°		 ← 153.29 m → N 59.875155°
W 18.866272°		 →
↑
153.29 m
↓
↑
153.29 m
↓
N 59.873777°
W 18.869019°		 ← 153.30 m →
23 498 m²		 N 59.873777°
W 18.866272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447589874267578 y=0.291095733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447589874267578 × 217)
    floor (0.447589874267578 × 131072)
    floor (58666.5)     		tx = 58666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291095733642578 × 217)
    floor (0.291095733642578 × 131072)
    floor (38154.5)     		ty = 38154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58666 / 38154 ti = "17/58666/38154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58666/38154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58666 ÷ 217
    58666 ÷ 131072     		x = 0.447586059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38154 ÷ 217
    38154 ÷ 131072     		y = 0.291091918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447586059570312 × 2 - 1) × π
    -0.104827880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32932650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291091918945312 × 2 - 1) × π
    0.417816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31260818539638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32932650} λ = -0.32932650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31260818539638))-π/2
    2×atan(3.71585271719566)-π/2
    2×1.30790746125171-π/2
    2.61581492250342-1.57079632675     		φ = 1.04501860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32932650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.869019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04501860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.875155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58666 KachelY 38154 -0.32932650 1.04501860 -18.869019 59.875155
    Oben rechts KachelX + 1 58667 KachelY 38154 -0.32927856 1.04501860 -18.866272 59.875155
    Unten links KachelX 58666 KachelY + 1 38155 -0.32932650 1.04499454 -18.869019 59.873777
    Unten rechts KachelX + 1 58667 KachelY + 1 38155 -0.32927856 1.04499454 -18.866272 59.873777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04501860-1.04499454) × R
    2.40599999998814e-05 × 6371000     		dl = 153.286259999244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04501860-1.04499454) × R
    2.40599999998814e-05 × 6371000     		dr = 153.286259999244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32932650--0.32927856) × cos(1.04501860) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501885838640037 × 6371000     		do = 153.288853662231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32932650--0.32927856) × cos(1.04499454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501906648803757 × 6371000     		du = 153.295209621885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04501860)-sin(1.04499454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501885838640037-0.501906648803757)×R²
    abs(-0.32927856--0.32932650)×2.08101637199087e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08101637199087e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08101637199087e-05×40589641000000     		ar = 23497.5622192573m²