Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58665 / 38151
↖ ↑ ↗
← N 59.879290°
W 18.871765°		 ← 153.27 m → N 59.879290°
W 18.869019°		 →
↑
153.29 m
↓
↑
153.29 m
↓
N 59.877912°
W 18.871765°		 ← 153.28 m →
23 495 m²		 N 59.877912°
W 18.869019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447582244873047 y=0.291072845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447582244873047 × 217)
    floor (0.447582244873047 × 131072)
    floor (58665.5)     		tx = 58665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291072845458984 × 217)
    floor (0.291072845458984 × 131072)
    floor (38151.5)     		ty = 38151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58665 / 38151 ti = "17/58665/38151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58665/38151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58665 ÷ 217
    58665 ÷ 131072     		x = 0.447578430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38151 ÷ 217
    38151 ÷ 131072     		y = 0.291069030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447578430175781 × 2 - 1) × π
    -0.104843139648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32937444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291069030761719 × 2 - 1) × π
    0.417861938476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.31275199609524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32937444} λ = -0.32937444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31275199609524))-π/2
    2×atan(3.71638713499836)-π/2
    2×1.30794354728419-π/2
    2.61588709456838-1.57079632675     		φ = 1.04509077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32937444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.871765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04509077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.879290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58665 KachelY 38151 -0.32937444 1.04509077 -18.871765 59.879290
    Oben rechts KachelX + 1 58666 KachelY 38151 -0.32932650 1.04509077 -18.869019 59.879290
    Unten links KachelX 58665 KachelY + 1 38152 -0.32937444 1.04506671 -18.871765 59.877912
    Unten rechts KachelX + 1 58666 KachelY + 1 38152 -0.32932650 1.04506671 -18.869019 59.877912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04509077-1.04506671) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dl = 153.286260000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04509077-1.04506671) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dr = 153.286260000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32937444--0.32932650) × cos(1.04509077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.501823415055426 × 6371000     		do = 153.26978789253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32937444--0.32932650) × cos(1.04506671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.501844226090589 × 6371000     		du = 153.276144118345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04509077)-sin(1.04506671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501823415055426-0.501844226090589)×R²
    abs(-0.32932650--0.32937444)×2.08110351636037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08110351636037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08110351636037e-05×40589641000000     		ar = 23494.6397191745m²