Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58663 / 35641
↖ ↑ ↗
← N 63.163036°
W 18.877258°		 ← 137.89 m → N 63.163036°
W 18.874511°		 →
↑
137.87 m
↓
↑
137.87 m
↓
N 63.161796°
W 18.877258°		 ← 137.89 m →
19 010 m²		 N 63.161796°
W 18.874511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447566986083984 y=0.271923065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447566986083984 × 217)
    floor (0.447566986083984 × 131072)
    floor (58663.5)     		tx = 58663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271923065185547 × 217)
    floor (0.271923065185547 × 131072)
    floor (35641.5)     		ty = 35641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58663 / 35641 ti = "17/58663/35641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58663/35641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58663 ÷ 217
    58663 ÷ 131072     		x = 0.447563171386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35641 ÷ 217
    35641 ÷ 131072     		y = 0.271919250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447563171386719 × 2 - 1) × π
    -0.104873657226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32947031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271919250488281 × 2 - 1) × π
    0.456161499023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.43307361414158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32947031} λ = -0.32947031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43307361414158))-π/2
    2×atan(4.19156265939383)-π/2
    2×1.33659963675457-π/2
    2.67319927350914-1.57079632675     		φ = 1.10240295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32947031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.877258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10240295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.163036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58663 KachelY 35641 -0.32947031 1.10240295 -18.877258 63.163036
    Oben rechts KachelX + 1 58664 KachelY 35641 -0.32942237 1.10240295 -18.874511 63.163036
    Unten links KachelX 58663 KachelY + 1 35642 -0.32947031 1.10238131 -18.877258 63.161796
    Unten rechts KachelX + 1 58664 KachelY + 1 35642 -0.32942237 1.10238131 -18.874511 63.161796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10240295-1.10238131) × R
    2.1640000000156e-05 × 6371000     		dl = 137.868440000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10240295-1.10238131) × R
    2.1640000000156e-05 × 6371000     		dr = 137.868440000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32947031--0.32942237) × cos(1.10240295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451453287191006 × 6371000     		do = 137.885454315655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32947031--0.32942237) × cos(1.10238131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451472596343794 × 6371000     		du = 137.891351827934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10240295)-sin(1.10238131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451453287191006-0.451472596343794)×R²
    abs(-0.32942237--0.32947031)×1.93091527875833e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93091527875833e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93091527875833e-05×40589641000000     		ar = 19010.4590265233m²