Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58662 / 38155
↖ ↑ ↗
← N 59.873777°
W 18.880005°		 ← 153.30 m → N 59.873777°
W 18.877258°		 →
↑
153.29 m
↓
↑
153.29 m
↓
N 59.872398°
W 18.880005°		 ← 153.30 m →
23 499 m²		 N 59.872398°
W 18.877258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447559356689453 y=0.291103363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447559356689453 × 217)
    floor (0.447559356689453 × 131072)
    floor (58662.5)     		tx = 58662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291103363037109 × 217)
    floor (0.291103363037109 × 131072)
    floor (38155.5)     		ty = 38155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58662 / 38155 ti = "17/58662/38155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58662/38155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58662 ÷ 217
    58662 ÷ 131072     		x = 0.447555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38155 ÷ 217
    38155 ÷ 131072     		y = 0.291099548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447555541992188 × 2 - 1) × π
    -0.104888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32951825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291099548339844 × 2 - 1) × π
    0.417800903320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.31256024849676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32951825} λ = -0.32951825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31256024849676))-π/2
    2×atan(3.7156745950063)-π/2
    2×1.3078954315767-π/2
    2.61579086315341-1.57079632675     		φ = 1.04499454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32951825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.880005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04499454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.873777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58662 KachelY 38155 -0.32951825 1.04499454 -18.880005 59.873777
    Oben rechts KachelX + 1 58663 KachelY 38155 -0.32947031 1.04499454 -18.877258 59.873777
    Unten links KachelX 58662 KachelY + 1 38156 -0.32951825 1.04497048 -18.880005 59.872398
    Unten rechts KachelX + 1 58663 KachelY + 1 38156 -0.32947031 1.04497048 -18.877258 59.872398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04499454-1.04497048) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dl = 153.286260000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04499454-1.04497048) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dr = 153.286260000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32951825--0.32947031) × cos(1.04499454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501906648803757 × 6371000     		do = 153.295209621885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32951825--0.32947031) × cos(1.04497048) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501927458676932 × 6371000     		du = 153.301565492798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04499454)-sin(1.04497048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501906648803757-0.501927458676932)×R²
    abs(-0.32947031--0.32951825)×2.08098731744322e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08098731744322e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08098731744322e-05×40589641000000     		ar = 23498.5364939598m²