Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58662 / 37633
↖ ↑ ↗
← N 60.585618°
W 18.880005°		 ← 150 m → N 60.585618°
W 18.877258°		 →
↑
149.97 m
↓
↑
149.97 m
↓
N 60.584270°
W 18.880005°		 ← 150.01 m →
22 497 m²		 N 60.584270°
W 18.877258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447559356689453 y=0.287120819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447559356689453 × 217)
    floor (0.447559356689453 × 131072)
    floor (58662.5)     		tx = 58662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287120819091797 × 217)
    floor (0.287120819091797 × 131072)
    floor (37633.5)     		ty = 37633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58662 / 37633 ti = "17/58662/37633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58662/37633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58662 ÷ 217
    58662 ÷ 131072     		x = 0.447555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37633 ÷ 217
    37633 ÷ 131072     		y = 0.287117004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447555541992188 × 2 - 1) × π
    -0.104888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32951825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287117004394531 × 2 - 1) × π
    0.425765991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.33758331009843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32951825} λ = -0.32951825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33758331009843))-π/2
    2×atan(3.80982520486665)-π/2
    2×1.31410742415117-π/2
    2.62821484830233-1.57079632675     		φ = 1.05741852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32951825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.880005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05741852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.585618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58662 KachelY 37633 -0.32951825 1.05741852 -18.880005 60.585618
    Oben rechts KachelX + 1 58663 KachelY 37633 -0.32947031 1.05741852 -18.877258 60.585618
    Unten links KachelX 58662 KachelY + 1 37634 -0.32951825 1.05739498 -18.880005 60.584270
    Unten rechts KachelX + 1 58663 KachelY + 1 37634 -0.32947031 1.05739498 -18.877258 60.584270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05741852-1.05739498) × R
    2.35399999999331e-05 × 6371000     		dl = 149.973339999574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05741852-1.05739498) × R
    2.35399999999331e-05 × 6371000     		dr = 149.973339999574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32951825--0.32947031) × cos(1.05741852) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.491122418659489 × 6371000     		do = 150.00142814974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32951825--0.32947031) × cos(1.05739498) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.491142923995279 × 6371000     		du = 150.007691007097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05741852)-sin(1.05739498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491122418659489-0.491142923995279)×R²
    abs(-0.32947031--0.32951825)×2.0505335790566e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0505335790566e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0505335790566e-05×40589641000000     		ar = 22496.6848161804m²