Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58661 / 37634
↖ ↑ ↗
← N 60.584270°
W 18.882751°		 ← 149.98 m → N 60.584270°
W 18.880005°		 →
↑
150.04 m
↓
↑
150.04 m
↓
N 60.582920°
W 18.882751°		 ← 149.98 m →
22 502 m²		 N 60.582920°
W 18.880005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447551727294922 y=0.287128448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447551727294922 × 217)
    floor (0.447551727294922 × 131072)
    floor (58661.5)     		tx = 58661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287128448486328 × 217)
    floor (0.287128448486328 × 131072)
    floor (37634.5)     		ty = 37634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58661 / 37634 ti = "17/58661/37634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58661/37634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58661 ÷ 217
    58661 ÷ 131072     		x = 0.447547912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37634 ÷ 217
    37634 ÷ 131072     		y = 0.287124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447547912597656 × 2 - 1) × π
    -0.104904174804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32956618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287124633789062 × 2 - 1) × π
    0.425750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33753537319881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32956618} λ = -0.32956618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33753537319881))-π/2
    2×atan(3.80964257803555)-π/2
    2×1.31409565246238-π/2
    2.62819130492476-1.57079632675     		φ = 1.05739498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32956618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.882751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05739498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.584270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58661 KachelY 37634 -0.32956618 1.05739498 -18.882751 60.584270
    Oben rechts KachelX + 1 58662 KachelY 37634 -0.32951825 1.05739498 -18.880005 60.584270
    Unten links KachelX 58661 KachelY + 1 37635 -0.32956618 1.05737143 -18.882751 60.582920
    Unten rechts KachelX + 1 58662 KachelY + 1 37635 -0.32951825 1.05737143 -18.880005 60.582920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05739498-1.05737143) × R
    2.35500000000943e-05 × 6371000     		dl = 150.037050000601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05739498-1.05737143) × R
    2.35500000000943e-05 × 6371000     		dr = 150.037050000601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32956618--0.32951825) × cos(1.05739498) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.491142923995279 × 6371000     		do = 149.976400291252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32956618--0.32951825) × cos(1.05737143) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.491163437769587 × 6371000     		du = 149.982664419018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05739498)-sin(1.05737143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491142923995279-0.491163437769587)×R²
    abs(-0.32951825--0.32956618)×2.05137743072847e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.05137743072847e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.05137743072847e-05×40589641000000     		ar = 22502.486596191m²