Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58659 / 44827
↖ ↑ ↗
← N 49.334072°
W 18.888245°		 ← 199.03 m → N 49.334072°
W 18.885498°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
N 49.332282°
W 18.888245°		 ← 199.04 m →
39 614 m²		 N 49.332282°
W 18.885498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447536468505859 y=0.342006683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447536468505859 × 217)
    floor (0.447536468505859 × 131072)
    floor (58659.5)     		tx = 58659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342006683349609 × 217)
    floor (0.342006683349609 × 131072)
    floor (44827.5)     		ty = 44827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58659 / 44827 ti = "17/58659/44827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58659/44827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58659 ÷ 217
    58659 ÷ 131072     		x = 0.447532653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44827 ÷ 217
    44827 ÷ 131072     		y = 0.342002868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447532653808594 × 2 - 1) × π
    -0.104934692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32966206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342002868652344 × 2 - 1) × π
    0.315994262695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.992725254231743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32966206} λ = -0.32966206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992725254231743))-π/2
    2×atan(2.698578773482)-π/2
    2×1.2159191567294-π/2
    2.4318383134588-1.57079632675     		φ = 0.86104199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32966206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.888245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86104199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.334072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58659 KachelY 44827 -0.32966206 0.86104199 -18.888245 49.334072
    Oben rechts KachelX + 1 58660 KachelY 44827 -0.32961412 0.86104199 -18.885498 49.334072
    Unten links KachelX 58659 KachelY + 1 44828 -0.32966206 0.86101075 -18.888245 49.332282
    Unten rechts KachelX + 1 58660 KachelY + 1 44828 -0.32961412 0.86101075 -18.885498 49.332282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86104199-0.86101075) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86104199-0.86101075) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32966206--0.32961412) × cos(0.86104199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651647449745109 × 6371000     		do = 199.029904557382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32966206--0.32961412) × cos(0.86101075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651671145653923 × 6371000     		du = 199.037141897867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86104199)-sin(0.86101075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651647449745109-0.651671145653923)×R²
    abs(-0.32961412--0.32966206)×2.36959088139033e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36959088139033e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36959088139033e-05×40589641000000     		ar = 39613.6500926084m²