Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58655 / 44832
↖ ↑ ↗
← N 49.325122°
W 18.899231°		 ← 199.07 m → N 49.325122°
W 18.896484°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
N 49.323332°
W 18.899231°		 ← 199.07 m →
39 621 m²		 N 49.323332°
W 18.896484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447505950927734 y=0.342044830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447505950927734 × 217)
    floor (0.447505950927734 × 131072)
    floor (58655.5)     		tx = 58655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342044830322266 × 217)
    floor (0.342044830322266 × 131072)
    floor (44832.5)     		ty = 44832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58655 / 44832 ti = "17/58655/44832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58655/44832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58655 ÷ 217
    58655 ÷ 131072     		x = 0.447502136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44832 ÷ 217
    44832 ÷ 131072     		y = 0.342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447502136230469 × 2 - 1) × π
    -0.104995727539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32985381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342041015625 × 2 - 1) × π
    0.31591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.992485569733643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32985381} λ = -0.32985381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992485569733643))-π/2
    2×atan(2.69793204349177)-π/2
    2×1.21584105473396-π/2
    2.43168210946792-1.57079632675     		φ = 0.86088578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32985381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.899231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86088578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.325122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58655 KachelY 44832 -0.32985381 0.86088578 -18.899231 49.325122
    Oben rechts KachelX + 1 58656 KachelY 44832 -0.32980587 0.86088578 -18.896484 49.325122
    Unten links KachelX 58655 KachelY + 1 44833 -0.32985381 0.86085454 -18.899231 49.323332
    Unten rechts KachelX + 1 58656 KachelY + 1 44833 -0.32980587 0.86085454 -18.896484 49.323332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86088578-0.86085454) × R
    3.1240000000099e-05 × 6371000     		dl = 199.030040000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86088578-0.86085454) × R
    3.1240000000099e-05 × 6371000     		dr = 199.030040000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32985381--0.32980587) × cos(0.86088578) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651765930513245 × 6371000     		do = 199.066091633896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32985381--0.32980587) × cos(0.86085454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651789623241672 × 6371000     		du = 199.073328003009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86088578)-sin(0.86085454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651765930513245-0.651789623241672)×R²
    abs(-0.32980587--0.32985381)×2.36927284272825e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36927284272825e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36927284272825e-05×40589641000000     		ar = 39620.852311186m²