Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58652 / 39182
↖ ↑ ↗
← N 58.427606°
W 18.907471°		 ← 159.91 m → N 58.427606°
W 18.904724°		 →
↑
159.91 m
↓
↑
159.91 m
↓
N 58.426168°
W 18.907471°		 ← 159.92 m →
25 573 m²		 N 58.426168°
W 18.904724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447483062744141 y=0.298938751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447483062744141 × 217)
    floor (0.447483062744141 × 131072)
    floor (58652.5)     		tx = 58652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298938751220703 × 217)
    floor (0.298938751220703 × 131072)
    floor (39182.5)     		ty = 39182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58652 / 39182 ti = "17/58652/39182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58652/39182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58652 ÷ 217
    58652 ÷ 131072     		x = 0.447479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39182 ÷ 217
    39182 ÷ 131072     		y = 0.298934936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.10504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32999762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298934936523438 × 2 - 1) × π
    0.402130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26332905258696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32999762} λ = -0.32999762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26332905258696))-π/2
    2×atan(3.53717735798665)-π/2
    2×1.29527521239334-π/2
    2.59055042478668-1.57079632675     		φ = 1.01975410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32999762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.907471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01975410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.427606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58652 KachelY 39182 -0.32999762 1.01975410 -18.907471 58.427606
    Oben rechts KachelX + 1 58653 KachelY 39182 -0.32994968 1.01975410 -18.904724 58.427606
    Unten links KachelX 58652 KachelY + 1 39183 -0.32999762 1.01972900 -18.907471 58.426168
    Unten rechts KachelX + 1 58653 KachelY + 1 39183 -0.32994968 1.01972900 -18.904724 58.426168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01975410-1.01972900) × R
    2.51000000000001e-05 × 6371000     		dl = 159.912100000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01975410-1.01972900) × R
    2.51000000000001e-05 × 6371000     		dr = 159.912100000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32999762--0.32994968) × cos(1.01975410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.523575468789001 × 6371000     		do = 159.913425000623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32999762--0.32994968) × cos(1.01972900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.523596853304512 × 6371000     		du = 159.919956382097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01975410)-sin(1.01972900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523575468789001-0.523596853304512)×R²
    abs(-0.32994968--0.32999762)×2.138451551148e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.138451551148e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.138451551148e-05×40589641000000     		ar = 25572.6138347408m²