Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58651 / 86825
↖ ↑ ↗
← S 50.361232°
W 18.910217°		 ← 194.80 m → S 50.361232°
W 18.907471°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
S 50.362984°
W 18.910217°		 ← 194.80 m →
37 952 m²		 S 50.362984°
W 18.907471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447475433349609 y=0.662425994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447475433349609 × 217)
    floor (0.447475433349609 × 131072)
    floor (58651.5)     		tx = 58651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662425994873047 × 217)
    floor (0.662425994873047 × 131072)
    floor (86825.5)     		ty = 86825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58651 / 86825 ti = "17/58651/86825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58651/86825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58651 ÷ 217
    58651 ÷ 131072     		x = 0.447471618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86825 ÷ 217
    86825 ÷ 131072     		y = 0.662422180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447471618652344 × 2 - 1) × π
    -0.105056762695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33004555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662422180175781 × 2 - 1) × π
    -0.324844360351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.02052865601138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33004555} λ = -0.33004555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02052865601138))-π/2
    2×atan(0.360404359870434)-π/2
    2×0.345913501749154-π/2
    0.691827003498308-1.57079632675     		φ = -0.87896932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33004555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.910217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87896932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.361232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58651 KachelY 86825 -0.33004555 -0.87896932 -18.910217 -50.361232
    Oben rechts KachelX + 1 58652 KachelY 86825 -0.32999762 -0.87896932 -18.907471 -50.361232
    Unten links KachelX 58651 KachelY + 1 86826 -0.33004555 -0.87899990 -18.910217 -50.362984
    Unten rechts KachelX + 1 58652 KachelY + 1 86826 -0.32999762 -0.87899990 -18.907471 -50.362984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87896932--0.87899990) × R
    3.05799999998912e-05 × 6371000     		dl = 194.825179999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87896932--0.87899990) × R
    3.05799999998912e-05 × 6371000     		dr = 194.825179999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33004555--0.32999762) × cos(-0.87896932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637945190782435 × 6371000     		do = 194.804238486181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33004555--0.32999762) × cos(-0.87899990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637921641383608 × 6371000     		du = 194.79704739395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87896932)-sin(-0.87899990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637945190782435-0.637921641383608)×R²
    abs(-0.32999762--0.33004555)×2.3549398826983e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3549398826983e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3549398826983e-05×40589641000000     		ar = 37952.0703277924m²