Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58648 / 82152
↖ ↑ ↗
← S 41.459195°
W 18.918457°		 ← 228.85 m → S 41.459195°
W 18.915711°		 →
↑
228.91 m
↓
↑
228.91 m
↓
S 41.461254°
W 18.918457°		 ← 228.84 m →
52 384 m²		 S 41.461254°
W 18.915711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447452545166016 y=0.626773834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447452545166016 × 217)
    floor (0.447452545166016 × 131072)
    floor (58648.5)     		tx = 58648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626773834228516 × 217)
    floor (0.626773834228516 × 131072)
    floor (82152.5)     		ty = 82152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58648 / 82152 ti = "17/58648/82152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58648/82152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58648 ÷ 217
    58648 ÷ 131072     		x = 0.44744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82152 ÷ 217
    82152 ÷ 131072     		y = 0.62677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33018936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.2535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.796519524086853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33018936} λ = -0.33018936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796519524086853))-π/2
    2×atan(0.450895567435019)-π/2
    2×0.42359843110597-π/2
    0.84719686221194-1.57079632675     		φ = -0.72359946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33018936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.918457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72359946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.459195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58648 KachelY 82152 -0.33018936 -0.72359946 -18.918457 -41.459195
    Oben rechts KachelX + 1 58649 KachelY 82152 -0.33014143 -0.72359946 -18.915711 -41.459195
    Unten links KachelX 58648 KachelY + 1 82153 -0.33018936 -0.72363539 -18.918457 -41.461254
    Unten rechts KachelX + 1 58649 KachelY + 1 82153 -0.33014143 -0.72363539 -18.915711 -41.461254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72359946--0.72363539) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dl = 228.91003000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72359946--0.72363539) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dr = 228.91003000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33018936--0.33014143) × cos(-0.72359946) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.74942743528012 × 6371000     		do = 228.846682974706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33018936--0.33014143) × cos(-0.72363539) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.749403646028824 × 6371000     		du = 228.839418640638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72359946)-sin(-0.72363539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74942743528012-0.749403646028824)×R²
    abs(-0.33014143--0.33018936)×2.37892512959803e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37892512959803e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37892512959803e-05×40589641000000     		ar = 52384.4696313077m²