Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58648 / 37617
↖ ↑ ↗
← N 60.607194°
W 18.918457°		 ← 149.87 m → N 60.607194°
W 18.915711°		 →
↑
149.91 m
↓
↑
149.91 m
↓
N 60.605846°
W 18.918457°		 ← 149.88 m →
22 467 m²		 N 60.605846°
W 18.915711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447452545166016 y=0.286998748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447452545166016 × 217)
    floor (0.447452545166016 × 131072)
    floor (58648.5)     		tx = 58648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286998748779297 × 217)
    floor (0.286998748779297 × 131072)
    floor (37617.5)     		ty = 37617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58648 / 37617 ti = "17/58648/37617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58648/37617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58648 ÷ 217
    58648 ÷ 131072     		x = 0.44744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37617 ÷ 217
    37617 ÷ 131072     		y = 0.286994934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33018936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286994934082031 × 2 - 1) × π
    0.426010131835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.33835030049235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33018936} λ = -0.33018936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33835030049235))-π/2
    2×atan(3.81274842509892)-π/2
    2×1.31429570433118-π/2
    2.62859140866237-1.57079632675     		φ = 1.05779508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33018936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.918457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05779508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.607194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58648 KachelY 37617 -0.33018936 1.05779508 -18.918457 60.607194
    Oben rechts KachelX + 1 58649 KachelY 37617 -0.33014143 1.05779508 -18.915711 60.607194
    Unten links KachelX 58648 KachelY + 1 37618 -0.33018936 1.05777155 -18.918457 60.605846
    Unten rechts KachelX + 1 58649 KachelY + 1 37618 -0.33014143 1.05777155 -18.915711 60.605846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05779508-1.05777155) × R
    2.35299999999938e-05 × 6371000     		dl = 149.909629999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05779508-1.05777155) × R
    2.35299999999938e-05 × 6371000     		dr = 149.909629999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33018936--0.33014143) × cos(1.05779508) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.490794365984685 × 6371000     		do = 149.869963909565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33018936--0.33014143) × cos(1.05777155) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.490814866959892 × 6371000     		du = 149.876224128971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05779508)-sin(1.05777155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490794365984685-0.490814866959892)×R²
    abs(-0.33014143--0.33018936)×2.05009752070606e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.05009752070606e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.05009752070606e-05×40589641000000     		ar = 22467.4200723516m²