Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58646 / 38193
↖ ↑ ↗
← N 59.821351°
W 18.923950°		 ← 153.54 m → N 59.821351°
W 18.921204°		 →
↑
153.54 m
↓
↑
153.54 m
↓
N 59.819970°
W 18.923950°		 ← 153.54 m →
23 575 m²		 N 59.819970°
W 18.921204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447437286376953 y=0.291393280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447437286376953 × 217)
    floor (0.447437286376953 × 131072)
    floor (58646.5)     		tx = 58646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291393280029297 × 217)
    floor (0.291393280029297 × 131072)
    floor (38193.5)     		ty = 38193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58646 / 38193 ti = "17/58646/38193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58646/38193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58646 ÷ 217
    58646 ÷ 131072     		x = 0.447433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38193 ÷ 217
    38193 ÷ 131072     		y = 0.291389465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447433471679688 × 2 - 1) × π
    -0.105133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33028524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291389465332031 × 2 - 1) × π
    0.417221069335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.3107386463112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33028524} λ = -0.33028524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3107386463112))-π/2
    2×atan(3.70891227504153)-π/2
    2×1.30743793420454-π/2
    2.61487586840908-1.57079632675     		φ = 1.04407954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33028524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.923950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04407954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.821351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58646 KachelY 38193 -0.33028524 1.04407954 -18.923950 59.821351
    Oben rechts KachelX + 1 58647 KachelY 38193 -0.33023730 1.04407954 -18.921204 59.821351
    Unten links KachelX 58646 KachelY + 1 38194 -0.33028524 1.04405544 -18.923950 59.819970
    Unten rechts KachelX + 1 58647 KachelY + 1 38194 -0.33023730 1.04405544 -18.921204 59.819970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04407954-1.04405544) × R
    2.41000000000824e-05 × 6371000     		dl = 153.541100000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04407954-1.04405544) × R
    2.41000000000824e-05 × 6371000     		dr = 153.541100000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33028524--0.33023730) × cos(1.04407954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.502697842033708 × 6371000     		do = 153.536860399448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33028524--0.33023730) × cos(1.04405544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.502718675426522 × 6371000     		du = 153.543223453865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04407954)-sin(1.04405544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502697842033708-0.502718675426522)×R²
    abs(-0.33023730--0.33028524)×2.08333928144455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08333928144455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08333928144455e-05×40589641000000     		ar = 23574.7069326308m²