Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58646 / 37622
↖ ↑ ↗
← N 60.600453°
W 18.923950°		 ← 149.93 m → N 60.600453°
W 18.921204°		 →
↑
149.91 m
↓
↑
149.91 m
↓
N 60.599105°
W 18.923950°		 ← 149.94 m →
22 477 m²		 N 60.599105°
W 18.921204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447437286376953 y=0.287036895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447437286376953 × 217)
    floor (0.447437286376953 × 131072)
    floor (58646.5)     		tx = 58646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287036895751953 × 217)
    floor (0.287036895751953 × 131072)
    floor (37622.5)     		ty = 37622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58646 / 37622 ti = "17/58646/37622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58646/37622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58646 ÷ 217
    58646 ÷ 131072     		x = 0.447433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37622 ÷ 217
    37622 ÷ 131072     		y = 0.287033081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447433471679688 × 2 - 1) × π
    -0.105133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33028524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287033081054688 × 2 - 1) × π
    0.425933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33811061599425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33028524} λ = -0.33028524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33811061599425))-π/2
    2×atan(3.81183467791615)-π/2
    2×1.31423688028894-π/2
    2.62847376057788-1.57079632675     		φ = 1.05767743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33028524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.923950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05767743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.600453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58646 KachelY 37622 -0.33028524 1.05767743 -18.923950 60.600453
    Oben rechts KachelX + 1 58647 KachelY 37622 -0.33023730 1.05767743 -18.921204 60.600453
    Unten links KachelX 58646 KachelY + 1 37623 -0.33028524 1.05765390 -18.923950 60.599105
    Unten rechts KachelX + 1 58647 KachelY + 1 37623 -0.33023730 1.05765390 -18.921204 60.599105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05767743-1.05765390) × R
    2.35299999999938e-05 × 6371000     		dl = 149.909629999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05767743-1.05765390) × R
    2.35299999999938e-05 × 6371000     		dr = 149.909629999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33028524--0.33023730) × cos(1.05767743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.490896868143157 × 6371000     		do = 149.932539216208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33028524--0.33023730) × cos(1.05765390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.490917367759525 × 6371000     		du = 149.938800326707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05767743)-sin(1.05765390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490896868143157-0.490917367759525)×R²
    abs(-0.33023730--0.33028524)×2.04996163685744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04996163685744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04996163685744e-05×40589641000000     		ar = 22476.8007802501m²