Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58645 / 38188
↖ ↑ ↗
← N 59.828254°
W 18.926697°		 ← 153.51 m → N 59.828254°
W 18.923950°		 →
↑
153.54 m
↓
↑
153.54 m
↓
N 59.826873°
W 18.926697°		 ← 153.51 m →
23 570 m²		 N 59.826873°
W 18.923950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447429656982422 y=0.291355133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447429656982422 × 217)
    floor (0.447429656982422 × 131072)
    floor (58645.5)     		tx = 58645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291355133056641 × 217)
    floor (0.291355133056641 × 131072)
    floor (38188.5)     		ty = 38188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58645 / 38188 ti = "17/58645/38188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58645/38188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58645 ÷ 217
    58645 ÷ 131072     		x = 0.447425842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38188 ÷ 217
    38188 ÷ 131072     		y = 0.291351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447425842285156 × 2 - 1) × π
    -0.105148315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33033318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291351318359375 × 2 - 1) × π
    0.41729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3109783308093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33033318} λ = -0.33033318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3109783308093))-π/2
    2×atan(3.7098013503632)-π/2
    2×1.30749817240337-π/2
    2.61499634480674-1.57079632675     		φ = 1.04420002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33033318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.926697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04420002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.828254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58645 KachelY 38188 -0.33033318 1.04420002 -18.926697 59.828254
    Oben rechts KachelX + 1 58646 KachelY 38188 -0.33028524 1.04420002 -18.923950 59.828254
    Unten links KachelX 58645 KachelY + 1 38189 -0.33033318 1.04417592 -18.926697 59.826873
    Unten rechts KachelX + 1 58646 KachelY + 1 38189 -0.33028524 1.04417592 -18.923950 59.826873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04420002-1.04417592) × R
    2.40999999998603e-05 × 6371000     		dl = 153.54109999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04420002-1.04417592) × R
    2.40999999998603e-05 × 6371000     		dr = 153.54109999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33033318--0.33028524) × cos(1.04420002) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502593687980754 × 6371000     		do = 153.505049070928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33033318--0.33028524) × cos(1.04417592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502614522833065 × 6371000     		du = 153.511412571113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04420002)-sin(1.04417592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502593687980754-0.502614522833065)×R²
    abs(-0.33028524--0.33033318)×2.08348523106361e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08348523106361e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08348523106361e-05×40589641000000     		ar = 23569.8226203965m²