Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58640 / 86288
↖ ↑ ↗
← S 49.410973°
W 18.940430°		 ← 198.72 m → S 49.410973°
W 18.937683°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
S 49.412760°
W 18.940430°		 ← 198.71 m →
39 487 m²		 S 49.412760°
W 18.937683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447391510009766 y=0.658329010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447391510009766 × 217)
    floor (0.447391510009766 × 131072)
    floor (58640.5)     		tx = 58640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658329010009766 × 217)
    floor (0.658329010009766 × 131072)
    floor (86288.5)     		ty = 86288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58640 / 86288 ti = "17/58640/86288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58640/86288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58640 ÷ 217
    58640 ÷ 131072     		x = 0.4473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86288 ÷ 217
    86288 ÷ 131072     		y = 0.6583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33057286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994786540915405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33057286} λ = -0.33057286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994786540915405))-π/2
    2×atan(0.369802373795868)-π/2
    2×0.354206078932013-π/2
    0.708412157864026-1.57079632675     		φ = -0.86238417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33057286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86238417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.410973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58640 KachelY 86288 -0.33057286 -0.86238417 -18.940430 -49.410973
    Oben rechts KachelX + 1 58641 KachelY 86288 -0.33052492 -0.86238417 -18.937683 -49.410973
    Unten links KachelX 58640 KachelY + 1 86289 -0.33057286 -0.86241536 -18.940430 -49.412760
    Unten rechts KachelX + 1 58641 KachelY + 1 86289 -0.33052492 -0.86241536 -18.937683 -49.412760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86238417--0.86241536) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dl = 198.711489999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86238417--0.86241536) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dr = 198.711489999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33057286--0.33052492) × cos(-0.86238417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650628790059247 × 6371000     		do = 198.71877966925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33057286--0.33052492) × cos(-0.86241536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650605104183743 × 6371000     		du = 198.711545393197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86238417)-sin(-0.86241536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650628790059247-0.650605104183743)×R²
    abs(-0.33052492--0.33057286)×2.36858755043867e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36858755043867e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36858755043867e-05×40589641000000     		ar = 39486.9860354754m²