Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5864 / 7003
↖ ↑ ↗
← N 25.264568°
W 51.152344°		 ← 2 209.57 m → N 25.264568°
W 51.130371°		 →
↑
2 209.72 m
↓
↑
2 209.72 m
↓
N 25.244696°
W 51.152344°		 ← 2 209.93 m →
4 882 927 m²		 N 25.244696°
W 51.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357940673828125 y=0.427459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357940673828125 × 214)
    floor (0.357940673828125 × 16384)
    floor (5864.5)     		tx = 5864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427459716796875 × 214)
    floor (0.427459716796875 × 16384)
    floor (7003.5)     		ty = 7003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5864 / 7003 ti = "14/5864/7003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5864/7003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5864 ÷ 214
    5864 ÷ 16384     		x = 0.35791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7003 ÷ 214
    7003 ÷ 16384     		y = 0.42742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35791015625 × 2 - 1) × π
    -0.2841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89277682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    0.1451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.455975789185974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89277682} λ = -0.89277682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455975789185974))-π/2
    2×atan(1.57771214660871)-π/2
    2×1.00587311538661-π/2
    2.01174623077321-1.57079632675     		φ = 0.44094990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89277682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44094990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.264568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5864 KachelY 7003 -0.89277682 0.44094990 -51.152344 25.264568
    Oben rechts KachelX + 1 5865 KachelY 7003 -0.89239332 0.44094990 -51.130371 25.264568
    Unten links KachelX 5864 KachelY + 1 7004 -0.89277682 0.44060306 -51.152344 25.244696
    Unten rechts KachelX + 1 5865 KachelY + 1 7004 -0.89239332 0.44060306 -51.130371 25.244696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44094990-0.44060306) × R
    0.000346840000000015 × 6371000     		dl = 2209.71764000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44094990-0.44060306) × R
    0.000346840000000015 × 6371000     		dr = 2209.71764000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89277682--0.89239332) × cos(0.44094990) × R
    0.000383499999999981 × 0.904346655199733 × 6371000     		do = 2209.57073919631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89277682--0.89239332) × cos(0.44060306) × R
    0.000383499999999981 × 0.904494631661076 × 6371000     		du = 2209.93228690282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44094990)-sin(0.44060306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904346655199733-0.904494631661076)×R²
    abs(-0.89239332--0.89277682)×0.000147976461343458×R²
    0.000383499999999981×0.000147976461343458×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147976461343458×40589641000000     		ar = 4882926.94735264m²