Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5864 / 6920
↖ ↑ ↗
← N 26.902477°
W 51.152344°		 ← 2 178.86 m → N 26.902477°
W 51.130371°		 →
↑
2 179.01 m
↓
↑
2 179.01 m
↓
N 26.882881°
W 51.152344°		 ← 2 179.24 m →
4 748 173 m²		 N 26.882881°
W 51.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357940673828125 y=0.422393798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357940673828125 × 214)
    floor (0.357940673828125 × 16384)
    floor (5864.5)     		tx = 5864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422393798828125 × 214)
    floor (0.422393798828125 × 16384)
    floor (6920.5)     		ty = 6920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5864 / 6920 ti = "14/5864/6920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5864/6920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5864 ÷ 214
    5864 ÷ 16384     		x = 0.35791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6920 ÷ 214
    6920 ÷ 16384     		y = 0.42236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35791015625 × 2 - 1) × π
    -0.2841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89277682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    0.1552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.487805890533691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89277682} λ = -0.89277682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487805890533691))-π/2
    2×atan(1.62873866569323)-π/2
    2×1.02016656269486-π/2
    2.04033312538972-1.57079632675     		φ = 0.46953680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89277682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46953680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.902477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5864 KachelY 6920 -0.89277682 0.46953680 -51.152344 26.902477
    Oben rechts KachelX + 1 5865 KachelY 6920 -0.89239332 0.46953680 -51.130371 26.902477
    Unten links KachelX 5864 KachelY + 1 6921 -0.89277682 0.46919478 -51.152344 26.882881
    Unten rechts KachelX + 1 5865 KachelY + 1 6921 -0.89239332 0.46919478 -51.130371 26.882881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46953680-0.46919478) × R
    0.000342019999999998 × 6371000     		dl = 2179.00941999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46953680-0.46919478) × R
    0.000342019999999998 × 6371000     		dr = 2179.00941999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89277682--0.89239332) × cos(0.46953680) × R
    0.000383499999999981 × 0.891777969470339 × 6371000     		do = 2178.86193958043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89277682--0.89239332) × cos(0.46919478) × R
    0.000383499999999981 × 0.891932672213462 × 6371000     		du = 2179.23992146659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46953680)-sin(0.46919478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891777969470339-0.891932672213462)×R²
    abs(-0.89239332--0.89277682)×0.000154702743122903×R²
    0.000383499999999981×0.000154702743122903×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154702743122903×40589641000000     		ar = 4748172.55055616m²