Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58638 / 83761
↖ ↑ ↗
← S 44.686230°
W 18.945923°		 ← 217.10 m → S 44.686230°
W 18.943176°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
S 44.688183°
W 18.945923°		 ← 217.10 m →
47 137 m²		 S 44.688183°
W 18.943176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447376251220703 y=0.639049530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447376251220703 × 217)
    floor (0.447376251220703 × 131072)
    floor (58638.5)     		tx = 58638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639049530029297 × 217)
    floor (0.639049530029297 × 131072)
    floor (83761.5)     		ty = 83761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58638 / 83761 ti = "17/58638/83761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58638/83761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58638 ÷ 217
    58638 ÷ 131072     		x = 0.447372436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83761 ÷ 217
    83761 ÷ 131072     		y = 0.639045715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447372436523438 × 2 - 1) × π
    -0.105255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33066873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639045715332031 × 2 - 1) × π
    -0.278091430664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.873649995575523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33066873} λ = -0.33066873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873649995575523))-π/2
    2×atan(0.417425165288475)-π/2
    2×0.395437240300034-π/2
    0.790874480600067-1.57079632675     		φ = -0.77992185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33066873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.945923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77992185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.686230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58638 KachelY 83761 -0.33066873 -0.77992185 -18.945923 -44.686230
    Oben rechts KachelX + 1 58639 KachelY 83761 -0.33062080 -0.77992185 -18.943176 -44.686230
    Unten links KachelX 58638 KachelY + 1 83762 -0.33066873 -0.77995593 -18.945923 -44.688183
    Unten rechts KachelX + 1 58639 KachelY + 1 83762 -0.33062080 -0.77995593 -18.943176 -44.688183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77992185--0.77995593) × R
    3.40799999999364e-05 × 6371000     		dl = 217.123679999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77992185--0.77995593) × R
    3.40799999999364e-05 × 6371000     		dr = 217.123679999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33066873--0.33062080) × cos(-0.77992185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.710968497127907 × 6371000     		do = 217.10278354916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33066873--0.33062080) × cos(-0.77995593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.710944530845916 × 6371000     		du = 217.095465156639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77992185)-sin(-0.77995593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710968497127907-0.710944530845916)×R²
    abs(-0.33062080--0.33066873)×2.39662819914166e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39662819914166e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39662819914166e-05×40589641000000     		ar = 47137.3608087146m²