Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58637 / 39279
↖ ↑ ↗
← N 58.287839°
W 18.948669°		 ← 160.55 m → N 58.287839°
W 18.945923°		 →
↑
160.55 m
↓
↑
160.55 m
↓
N 58.286395°
W 18.948669°		 ← 160.55 m →
25 776 m²		 N 58.286395°
W 18.945923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447368621826172 y=0.299678802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447368621826172 × 217)
    floor (0.447368621826172 × 131072)
    floor (58637.5)     		tx = 58637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299678802490234 × 217)
    floor (0.299678802490234 × 131072)
    floor (39279.5)     		ty = 39279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58637 / 39279 ti = "17/58637/39279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58637/39279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58637 ÷ 217
    58637 ÷ 131072     		x = 0.447364807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39279 ÷ 217
    39279 ÷ 131072     		y = 0.299674987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447364807128906 × 2 - 1) × π
    -0.105270385742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33071667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299674987792969 × 2 - 1) × π
    0.400650024414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.25867917332381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33071667} λ = -0.33071667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25867917332381))-π/2
    2×atan(3.52076809046197)-π/2
    2×1.29405551786165-π/2
    2.58811103572329-1.57079632675     		φ = 1.01731471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33071667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.948669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01731471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.287839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58637 KachelY 39279 -0.33071667 1.01731471 -18.948669 58.287839
    Oben rechts KachelX + 1 58638 KachelY 39279 -0.33066873 1.01731471 -18.945923 58.287839
    Unten links KachelX 58637 KachelY + 1 39280 -0.33071667 1.01728951 -18.948669 58.286395
    Unten rechts KachelX + 1 58638 KachelY + 1 39280 -0.33066873 1.01728951 -18.945923 58.286395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01731471-1.01728951) × R
    2.52000000000585e-05 × 6371000     		dl = 160.549200000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01731471-1.01728951) × R
    2.52000000000585e-05 × 6371000     		dr = 160.549200000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33071667--0.33066873) × cos(1.01731471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525652218714153 × 6371000     		do = 160.547717883307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33071667--0.33066873) × cos(1.01728951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525673656176211 × 6371000     		du = 160.55426543602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01731471)-sin(1.01728951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525652218714153-0.525673656176211)×R²
    abs(-0.33066873--0.33071667)×2.14374620576274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14374620576274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14374620576274e-05×40589641000000     		ar = 25776.3332717404m²