Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58636 / 83764
↖ ↑ ↗
← S 44.692088°
W 18.951416°		 ← 217.13 m → S 44.692088°
W 18.948669°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
S 44.694040°
W 18.951416°		 ← 217.12 m →
47 129 m²		 S 44.694040°
W 18.948669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447360992431641 y=0.639072418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447360992431641 × 217)
    floor (0.447360992431641 × 131072)
    floor (58636.5)     		tx = 58636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639072418212891 × 217)
    floor (0.639072418212891 × 131072)
    floor (83764.5)     		ty = 83764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58636 / 83764 ti = "17/58636/83764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58636/83764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58636 ÷ 217
    58636 ÷ 131072     		x = 0.447357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83764 ÷ 217
    83764 ÷ 131072     		y = 0.639068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.10528564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33076461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.27813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.873793806274384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33076461} λ = -0.33076461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873793806274384))-π/2
    2×atan(0.417365139400019)-π/2
    2×0.395386120446658-π/2
    0.790772240893316-1.57079632675     		φ = -0.78002409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33076461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.951416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78002409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.692088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58636 KachelY 83764 -0.33076461 -0.78002409 -18.951416 -44.692088
    Oben rechts KachelX + 1 58637 KachelY 83764 -0.33071667 -0.78002409 -18.948669 -44.692088
    Unten links KachelX 58636 KachelY + 1 83765 -0.33076461 -0.78005816 -18.951416 -44.694040
    Unten rechts KachelX + 1 58637 KachelY + 1 83765 -0.33071667 -0.78005816 -18.948669 -44.694040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78002409--0.78005816) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78002409--0.78005816) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33076461--0.33071667) × cos(-0.78002409) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.710896595804789 × 6371000     		do = 217.126118837268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33076461--0.33071667) × cos(-0.78005816) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.710872634078917 × 6371000     		du = 217.118800309411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78002409)-sin(-0.78005816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710896595804789-0.710872634078917)×R²
    abs(-0.33071667--0.33076461)×2.39617258721569e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39617258721569e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39617258721569e-05×40589641000000     		ar = 47128.5945658194m²