Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58636 / 39277
↖ ↑ ↗
← N 58.290726°
W 18.951416°		 ← 160.53 m → N 58.290726°
W 18.948669°		 →
↑
160.49 m
↓
↑
160.49 m
↓
N 58.289283°
W 18.951416°		 ← 160.54 m →
25 764 m²		 N 58.289283°
W 18.948669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447360992431641 y=0.299663543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447360992431641 × 217)
    floor (0.447360992431641 × 131072)
    floor (58636.5)     		tx = 58636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299663543701172 × 217)
    floor (0.299663543701172 × 131072)
    floor (39277.5)     		ty = 39277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58636 / 39277 ti = "17/58636/39277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58636/39277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58636 ÷ 217
    58636 ÷ 131072     		x = 0.447357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39277 ÷ 217
    39277 ÷ 131072     		y = 0.299659729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.10528564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33076461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299659729003906 × 2 - 1) × π
    0.400680541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.25877504712305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33076461} λ = -0.33076461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25877504712305))-π/2
    2×atan(3.52110565605664)-π/2
    2×1.29408071497177-π/2
    2.58816142994354-1.57079632675     		φ = 1.01736510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33076461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.951416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01736510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.290726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58636 KachelY 39277 -0.33076461 1.01736510 -18.951416 58.290726
    Oben rechts KachelX + 1 58637 KachelY 39277 -0.33071667 1.01736510 -18.948669 58.290726
    Unten links KachelX 58636 KachelY + 1 39278 -0.33076461 1.01733991 -18.951416 58.289283
    Unten rechts KachelX + 1 58637 KachelY + 1 39278 -0.33071667 1.01733991 -18.948669 58.289283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01736510-1.01733991) × R
    2.51899999998972e-05 × 6371000     		dl = 160.485489999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01736510-1.01733991) × R
    2.51899999998972e-05 × 6371000     		dr = 160.485489999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33076461--0.33071667) × cos(1.01736510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.525609351295882 × 6371000     		do = 160.534625070545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33076461--0.33071667) × cos(1.01733991) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.525630780918286 × 6371000     		du = 160.541170228826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01736510)-sin(1.01733991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525609351295882-0.525630780918286)×R²
    abs(-0.33071667--0.33076461)×2.14296224038124e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14296224038124e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14296224038124e-05×40589641000000     		ar = 25764.0031692229m²