Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58635 / 37630
↖ ↑ ↗
← N 60.589665°
W 18.954162°		 ← 149.95 m → N 60.589665°
W 18.951416°		 →
↑
149.97 m
↓
↑
149.97 m
↓
N 60.588316°
W 18.954162°		 ← 149.96 m →
22 489 m²		 N 60.588316°
W 18.951416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447353363037109 y=0.287097930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447353363037109 × 217)
    floor (0.447353363037109 × 131072)
    floor (58635.5)     		tx = 58635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287097930908203 × 217)
    floor (0.287097930908203 × 131072)
    floor (37630.5)     		ty = 37630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58635 / 37630 ti = "17/58635/37630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58635/37630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58635 ÷ 217
    58635 ÷ 131072     		x = 0.447349548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37630 ÷ 217
    37630 ÷ 131072     		y = 0.287094116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447349548339844 × 2 - 1) × π
    -0.105300903320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33081254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287094116210938 × 2 - 1) × π
    0.425811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33772712079729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33081254} λ = -0.33081254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33772712079729))-π/2
    2×atan(3.81037313789027)-π/2
    2×1.31414273626831-π/2
    2.62828547253662-1.57079632675     		φ = 1.05748915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33081254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.954162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05748915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.589665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58635 KachelY 37630 -0.33081254 1.05748915 -18.954162 60.589665
    Oben rechts KachelX + 1 58636 KachelY 37630 -0.33076461 1.05748915 -18.951416 60.589665
    Unten links KachelX 58635 KachelY + 1 37631 -0.33081254 1.05746561 -18.954162 60.588316
    Unten rechts KachelX + 1 58636 KachelY + 1 37631 -0.33076461 1.05746561 -18.951416 60.588316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05748915-1.05746561) × R
    2.35400000001551e-05 × 6371000     		dl = 149.973340000988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05748915-1.05746561) × R
    2.35400000001551e-05 × 6371000     		dr = 149.973340000988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33081254--0.33076461) × cos(1.05748915) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.491060892308031 × 6371000     		do = 149.95135092871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33081254--0.33076461) × cos(1.05746561) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.491081398460343 × 6371000     		du = 149.957612729007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05748915)-sin(1.05746561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491060892308031-0.491081398460343)×R²
    abs(-0.33076461--0.33081254)×2.0506152311639e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0506152311639e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0506152311639e-05×40589641000000     		ar = 22489.1744890686m²