Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58634 / 39178
↖ ↑ ↗
← N 58.433357°
W 18.956909°		 ← 159.89 m → N 58.433357°
W 18.954162°		 →
↑
159.85 m
↓
↑
159.85 m
↓
N 58.431920°
W 18.956909°		 ← 159.89 m →
25 558 m²		 N 58.431920°
W 18.954162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447345733642578 y=0.298908233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447345733642578 × 217)
    floor (0.447345733642578 × 131072)
    floor (58634.5)     		tx = 58634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298908233642578 × 217)
    floor (0.298908233642578 × 131072)
    floor (39178.5)     		ty = 39178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58634 / 39178 ti = "17/58634/39178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58634/39178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58634 ÷ 217
    58634 ÷ 131072     		x = 0.447341918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39178 ÷ 217
    39178 ÷ 131072     		y = 0.298904418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447341918945312 × 2 - 1) × π
    -0.105316162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33086048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298904418945312 × 2 - 1) × π
    0.402191162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26352080018544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33086048} λ = -0.33086048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26352080018544))-π/2
    2×atan(3.53785566828055)-π/2
    2×1.29532540546279-π/2
    2.59065081092559-1.57079632675     		φ = 1.01985448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33086048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.956909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01985448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.433357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58634 KachelY 39178 -0.33086048 1.01985448 -18.956909 58.433357
    Oben rechts KachelX + 1 58635 KachelY 39178 -0.33081254 1.01985448 -18.954162 58.433357
    Unten links KachelX 58634 KachelY + 1 39179 -0.33086048 1.01982939 -18.956909 58.431920
    Unten rechts KachelX + 1 58635 KachelY + 1 39179 -0.33081254 1.01982939 -18.954162 58.431920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01985448-1.01982939) × R
    2.50900000000609e-05 × 6371000     		dl = 159.848390000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01985448-1.01982939) × R
    2.50900000000609e-05 × 6371000     		dr = 159.848390000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33086048--0.33081254) × cos(1.01985448) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.523489944469149 × 6371000     		do = 159.887303672129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33086048--0.33081254) × cos(1.01982939) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.523511321783561 × 6371000     		du = 159.893832854202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01985448)-sin(1.01982939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523489944469149-0.523511321783561)×R²
    abs(-0.33081254--0.33086048)×2.13773144118745e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13773144118745e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13773144118745e-05×40589641000000     		ar = 25558.2499143628m²