Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58633 / 39275
↖ ↑ ↗
← N 58.293614°
W 18.959656°		 ← 160.52 m → N 58.293614°
W 18.956909°		 →
↑
160.49 m
↓
↑
160.49 m
↓
N 58.292170°
W 18.959656°		 ← 160.53 m →
25 762 m²		 N 58.292170°
W 18.956909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447338104248047 y=0.299648284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447338104248047 × 217)
    floor (0.447338104248047 × 131072)
    floor (58633.5)     		tx = 58633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299648284912109 × 217)
    floor (0.299648284912109 × 131072)
    floor (39275.5)     		ty = 39275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58633 / 39275 ti = "17/58633/39275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58633/39275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58633 ÷ 217
    58633 ÷ 131072     		x = 0.447334289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39275 ÷ 217
    39275 ÷ 131072     		y = 0.299644470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447334289550781 × 2 - 1) × π
    -0.105331420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33090842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299644470214844 × 2 - 1) × π
    0.400711059570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.25887092092229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33090842} λ = -0.33090842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25887092092229))-π/2
    2×atan(3.52144325401655)-π/2
    2×1.29410591002685-π/2
    2.5882118200537-1.57079632675     		φ = 1.01741549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33090842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.959656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01741549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.293614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58633 KachelY 39275 -0.33090842 1.01741549 -18.959656 58.293614
    Oben rechts KachelX + 1 58634 KachelY 39275 -0.33086048 1.01741549 -18.956909 58.293614
    Unten links KachelX 58633 KachelY + 1 39276 -0.33090842 1.01739030 -18.959656 58.292170
    Unten rechts KachelX + 1 58634 KachelY + 1 39276 -0.33086048 1.01739030 -18.956909 58.292170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01741549-1.01739030) × R
    2.51900000001193e-05 × 6371000     		dl = 160.48549000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01741549-1.01739030) × R
    2.51900000001193e-05 × 6371000     		dr = 160.48549000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33090842--0.33086048) × cos(1.01741549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525566482543008 × 6371000     		do = 160.52153184979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33090842--0.33086048) × cos(1.01739030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525587912832567 × 6371000     		du = 160.528077211837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01741549)-sin(1.01739030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525566482543008-0.525587912832567)×R²
    abs(-0.33086048--0.33090842)×2.14302895589213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14302895589213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14302895589213e-05×40589641000000     		ar = 25761.9019137317m²