Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58632 / 39272
↖ ↑ ↗
← N 58.297944°
W 18.962402°		 ← 160.47 m → N 58.297944°
W 18.959656°		 →
↑
160.49 m
↓
↑
160.49 m
↓
N 58.296501°
W 18.962402°		 ← 160.47 m →
25 753 m²		 N 58.296501°
W 18.959656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447330474853516 y=0.299625396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447330474853516 × 217)
    floor (0.447330474853516 × 131072)
    floor (58632.5)     		tx = 58632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299625396728516 × 217)
    floor (0.299625396728516 × 131072)
    floor (39272.5)     		ty = 39272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58632 / 39272 ti = "17/58632/39272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58632/39272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58632 ÷ 217
    58632 ÷ 131072     		x = 0.44732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39272 ÷ 217
    39272 ÷ 131072     		y = 0.29962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29962158203125 × 2 - 1) × π
    0.4007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25901473162115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33095635} λ = -0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25901473162115))-π/2
    2×atan(3.52194971164805)-π/2
    2×1.29414369875647-π/2
    2.58828739751293-1.57079632675     		φ = 1.01749107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01749107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.297944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58632 KachelY 39272 -0.33095635 1.01749107 -18.962402 58.297944
    Oben rechts KachelX + 1 58633 KachelY 39272 -0.33090842 1.01749107 -18.959656 58.297944
    Unten links KachelX 58632 KachelY + 1 39273 -0.33095635 1.01746588 -18.962402 58.296501
    Unten rechts KachelX + 1 58633 KachelY + 1 39273 -0.33090842 1.01746588 -18.959656 58.296501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01749107-1.01746588) × R
    2.51899999998972e-05 × 6371000     		dl = 160.485489999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01749107-1.01746588) × R
    2.51899999998972e-05 × 6371000     		dr = 160.485489999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33095635--0.33090842) × cos(1.01749107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.525502181165518 × 6371000     		do = 160.468412810229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33095635--0.33090842) × cos(1.01746588) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.525523612455641 × 6371000     		du = 160.474957112486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01749107)-sin(1.01746588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525502181165518-0.525523612455641)×R²
    abs(-0.33090842--0.33095635)×2.14312901229974e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14312901229974e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14312901229974e-05×40589641000000     		ar = 25753.3769933365m²