Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58631 / 30984
↖ ↑ ↗
← N 68.391089°
W 18.965149°		 ← 112.48 m → N 68.391089°
W 18.962402°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
N 68.390078°
W 18.965149°		 ← 112.48 m →
12 648 m²		 N 68.390078°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447322845458984 y=0.236392974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447322845458984 × 217)
    floor (0.447322845458984 × 131072)
    floor (58631.5)     		tx = 58631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236392974853516 × 217)
    floor (0.236392974853516 × 131072)
    floor (30984.5)     		ty = 30984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58631 / 30984 ti = "17/58631/30984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58631/30984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58631 ÷ 217
    58631 ÷ 131072     		x = 0.447319030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30984 ÷ 217
    30984 ÷ 131072     		y = 0.23638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447319030761719 × 2 - 1) × π
    -0.105361938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33100429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23638916015625 × 2 - 1) × π
    0.5272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65631575567218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33100429} λ = -0.33100429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65631575567218))-π/2
    2×atan(5.23996990854396)-π/2
    2×1.38222300996359-π/2
    2.76444601992719-1.57079632675     		φ = 1.19364969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33100429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.965149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19364969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.391089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58631 KachelY 30984 -0.33100429 1.19364969 -18.965149 68.391089
    Oben rechts KachelX + 1 58632 KachelY 30984 -0.33095635 1.19364969 -18.962402 68.391089
    Unten links KachelX 58631 KachelY + 1 30985 -0.33100429 1.19363204 -18.965149 68.390078
    Unten rechts KachelX + 1 58632 KachelY + 1 30985 -0.33095635 1.19363204 -18.962402 68.390078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19364969-1.19363204) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19364969-1.19363204) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33100429--0.33095635) × cos(1.19364969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368269145550456 × 6371000     		do = 112.478876298842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33100429--0.33095635) × cos(1.19363204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368285555037406 × 6371000     		du = 112.483888178537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19364969)-sin(1.19363204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368269145550456-0.368285555037406)×R²
    abs(-0.33095635--0.33100429)×1.64094869498088e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64094869498088e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64094869498088e-05×40589641000000     		ar = 12648.3233424834m²